측도론으로 정의되는 확률

측도론으로 정의되는 확률

Probability in terms of measure theory

정의 1

$\mathcal{F}$ 가 집합 $\Omega$ 의 시그마 필드라고 하자.

  1. 가측 집합 $E \in \mathcal{F}$ 를 사건Event라고 한다.
  2. $\mathcal{F}$ 상의 측도 $P : \mathcal{F} \to \mathbb{R}$ 가 $P(\Omega) = 1$ 를 만족하면 $P$ 를 확률Probability이라고 한다.
  3. $( \Omega, \mathcal{F} , P )$ 를 확률 공간Probability Space라 한다.

설명

측도론의 힘을 빌리면 확률론의 여러가지 개념들에 대해 수리적 토대가 되고 모호함을 제거할 수 있다.

  1. 고등학교 과정 내지 확률개론, 혹은 수리통계학에서 사건이란 임의 시행Random Experiment에서 일어날 수 있는 경우였다. 수리통계학에서 확률이 모든 사건을 모아놓은 집합을 정의역으로 갖는 함수로 정의된 것과 달리 이제는 거꾸로 $\mathcal{F}$ 의 원소를 사건이라고 하고, 표본 공간이라는 말은 더 이상 사용하지 않는다. 시그마 필드 $\mathcal{F}$ 는 임의 시행이 정확히 어떤 것인지에 신경쓰지 않고 전체집합 $\Omega$ 와 그에 대한 형식적 대수 체계로만 정의된다. 따라서 누가, 무슨 말을, 어떻게 하느냐에 따라서 생길 수 있는 모호함이 있을 수 없다.
  2. 확률은 표본 공간이 정의역이고 $[0,1]$ 이 공역이며 확률의 덧셈법칙을 만족하는 함수였다. 측도론에서 재정의된 확률의 개념은 ‘임의 시행’이라거나 ‘경우의 수’라거나 하는 단어조차 용납하지 않는다. 측도의 정의를 생각해보면 이러한 확률의 정의는 기존에 친숙하게 써오던 확률의 개념을 완전히 커버하면서도 엄밀하게 일반화한 것이다.
  3. ‘확률 공간’이라는 새로운 단어를 써가면서 굳이 정의한 것은 이제 공간 $\Omega$ 그 자체를 $P$ 로써 파악하겠다는 의도가 없지않다. 기초적인 수리통계학에서와 같이 $\Omega = \mathbb{R}$ 라면 $\mathcal{F}$ 는 보렐 시그마 필드 $\mathcal{B}$ 가 되어 $(\Omega , \mathcal{F})$ 을 논의하는 의미가 없다. 너무 쉽다는 뜻이고, 바꿔말하면 응용할 수 있는 범위가 한정적이라는 이야기다. 측도론을 도입함으로써 확률의 세계는 막막할 정도로 드넓은 일반화의 국면으로 접어든다. 제대로 공부를 할 생각이라면 이 $\Omega$ 가 얼마나 기상천외하게 주어질지 긴장해야할 것이다.

같이보기


  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p46. ↩︎

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