확률 흐름 밀도
probability current dsnsity
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확률 흐름이라고도 한다.
유도
확률 흐름 밀도는 자유 입자의 슈뢰딩거 방정식으로부터 이끌어낼 수 있다.
$$
i \hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \quad \cdots (1)
$$
$(1)$의 양변에 $\psi^{\ast}$를 곱하면
$$
i \hbar \psi^{\ast}\frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \psi^{\ast} \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} \quad \cdots (2)
$$
그리고 $(1)$에 complex conjugate를 취하고 $\psi$를 곱하면
$$
-i \hbar \psi\frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \psi \frac{\partial ^2 \psi^{\ast}}{\partial x^2} \quad \cdots (3)
$$
이제 $(2)-(3)$을 계산하면
$$
\begin{align*}
i\hbar \left[ \psi^{\ast} \frac{ \partial \psi }{\partial t}+ \psi \frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial t}\right] =&\ -\frac{ \hbar^2 }{2m}\left[\psi^{\ast} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \psi \frac{\partial^2 \psi^{\ast}}{\partial x^2} \right]
\\ =&\ -\frac{ \hbar^2 }{2m} \left[ \frac{\partial}{\partial x} \left( \psi^{\ast}\frac{\partial \psi }{\partial t} - \psi \frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial x }\right) \right]
\end{align*}
$$
좌변도 정리해서 다시 적으면
$$
i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\left( \psi^{\ast} \psi \right) = -\frac{ \hbar^2 }{2m} \frac{\partial}{\partial x} \left( \psi^{\ast}\frac{\partial \psi }{\partial t} - \psi \frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial x }\right)
$$
$$
\implies \frac{\partial}{\partial t}\left( \psi^{\ast} \psi \right) = -\color{blue}{\frac{ \hbar }{2mi} } \frac{\partial}{\partial x} \color{blue}{\left( \psi^{\ast}\frac{\partial \psi }{\partial t} - \psi \frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial x }\right)}
$$
$\psi^{\ast} \psi=|\psi|^2=P$이므로 좌변은 확률 밀도의 시간 미분이다. 우변의 파란 부분을 $j(x,t)$라고 하면 위의 식은 최종적으로
$$
\frac{\partial }{\partial t}P(x,t)=-\frac{\partial}{\partial x}j(x,t) \quad \cdots (4)
$$
위 식을 어디서 본 것 같다면 전자기학을 열심히 공부한 사람이다. 연속 방정식을 통해서 $j(x,t)$가 무엇을 의미하는지 이해할 수 있다.
$$
\dfrac{\partial \rho}{\partial t}=-\nabla \cdot \mathbf{J}
$$
좌변의 $\rho$는 전하 밀도이고 우변의 $\mathbf{ J}$는 전류이다. 연속 방정식이 가지는 의미는 전하 밀도가 시간에 따라 변화됐다면(좌변) 그 만큼 전하의 흐름이 있다(우변)는 것이다. 이해가 안된다면 좀 더 간단한 예를 보자. 2개의 방에 사람들이 아무렇게나 들어가있다고 가정하자. 사람들은 자유롭게 움직일 수 있지만 두 방 사이만을 이동할 수 있다. 이 때 시간 어느정도 흐른 후에 양쪽 방의 인원(인구 밀도)이 달라졌다면 반드시 사람의 이동(인구의 흐름)이 있었다는거다. 이와 같은 개념을 $(4)$에 그대로 적용하면 위에서 정의한 $j(x,t)$를 확률 밀도의 “흐름"이라고 볼 수 있다 . 그런데 $j$의 이름이 ‘확률 밀도 흐름’ 이 아니라 ‘확률 흐름 밀도’ 인 것은 위의 연속 방정식에서 $\mathbf{J}$를 전류 밀도$(\mathrm{current\ density})$라 부르기 때문인 것 같다.위 내용이 이해가 안된다면 폐구간에 대해서 생각하는게 조금 더 쉽다. 어떤 구간 $[a,b]$에서 입자가 발견될 확률밀도를 $P(x,t)$라 하자. 그리고 $\dfrac{\partial P}{\partial t}<0$라고 하자. 그러면 구간 $[a,b]$에서 입자가 발견될 확률이 줄어들었다는 뜻이다. 그런데 전체 구간에서 입자가 발견될 확률은 1이어야한다. 따라서 $[a,b]$에서 줄어든 확률 만큼 구간 밖에서 발견될 확률이 높아져야 한다. 이 말은 확률 밀도가 구간 밖으로 나갔다는 뜻이 된다. 즉, 구간 밖으로의 “흐름” 이 생긴 것이다. 이에 따라서 $j(x,t)$를 확률 밀도의 흐름으로 보는 것이다.