양자역학에서 파동함수의 확률적 해석과 규격화

양자역학에서 파동함수의 확률적 해석과 규격화

설명

파동함수

파동함수wave function 는 양자역학에서 시간, 위치에 따른 입자의 운동 상태를 나타내는 함수이다. 보통 $u$, $\psi$, $\Psi$로 표기한다. 생새우초밥집에서는 위치와 시간에 대한 파동함수를 $\psi(x,t)$로 표기하고, 시간에 무관하고 위치에 대한 파동 함수는 $u(x)$로 표기한다.

확률적 해석

파동함수로 입자의 상태를 이해하는 방법은 막스 보른Max Born의 통계학적(확률적) 해석을 기반으로 한다. 여기서는 파동함수의 크기의 제곱을 어느 구간에서 적분한 값에 해당 구간에서 입자를 발견할 확률이라는 의미를 부여한다.

$$ \int _a ^b |\psi (x,t)|^2dx \\[1em] = \text{The probability that a particle exists in the interval } [a,b] \text{ at time } t $$

즉 양자역학에서는 $\left| \psi(x,\ t) \right|^2$을 시간이 $t$일 때, 어느 지점 $x$에서 입자가 존재할 확률 밀도 함수로 다룬다. 따라서 위의 식은 시간이 $t$일 때 구간 $[a, b]$에서 입자가 존재할 확률을 의미한다. 그러면 입자는 어딘가에는 분명 존재하므로 전체 구간에 대한 적분값은 $1$이어야 한다.

$$ \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,\ t)|^2 dx=1 $$

위의 조건은 파동함수를 확률적으로 해석하는 관점에서부터 나왔다.

규격화

그런데 아래의 식을 보면 $\psi$가 슈뢰딩거 방정식을 만족할 때, 이의 상수배인 $a\psi$도 슈뢰딩거 방정식을 만족함을 알 수 있다.

$$ H\psi = E\psi \implies aH\psi = aE\psi \implies H(a\psi) = E(a\psi) $$

$a\psi$에 대해서 위의 해석을 적용하면, ${\displaystyle \int _{-\infty}^{\infty}} |a\psi|^2 dx=a^2 \ne 1$이 되어 이 값을 확률이라고 해석할 수 없게 된다. 따라서 파동함수의 크기를 조절하여 파동함수의 전구간에 대한 적분값을 $1$이 되도록 하여 확률적인 의미를 주어야한다. 이를 규격화normalization라고 한다.

양자역학에서 파동함수를 다룰 때에는 반드시 규격화를 해주어야한다. 예를 들어 어떤 파동함수 $\psi$에 대해서 적분이 다음과 같다고 하자.

$$ \begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2dx=9 \end{equation} $$

그러면 이를 그대로 다루는 것이 아니다. 양변을 $9$로 나누면 ${\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} }|\frac{1}{3}\psi|^2dx=1$이 되어 확률적인 해석이 가능한 꼴이 된다. 여기서 $\psi$를 규격화하면 $\frac{1}{3}\psi$가 되고, $\frac{1}{3}\psi$를 규격화된 파동함수라 한다. 양자역학에서 다루는 함수는 규격화된 $\frac{1}{3}\psi$이다.

제곱적분 가능

한편 $(1)$과 같이 파동함수의 확률밀도의 적분값이 $1$이 아닌 것은 문제가 되지 않는다. 규격화를 통해서 크기를 조절해주면 되기 때문이다. 문제가 되는 경우는 바로 적분값이 발산하는 경우이다. 따라서 슈뢰딩거 방정식을 만족하는 파동함수는 아래의 수식을 만족해야 한다.

$$ \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,\ t)|^2dx <\infty $$

위의 조건을 만족하는 파동함수를 제곱적분 가능한square-integrable 함수 라고 한다. 제곱적분 가능한 파동함수는 $x \rightarrow \pm \infty$일 때 함숫값이 $0$으로 수렴해야 한다. 만약 그렇지 않으면 파동함수의 그래프 아래 넓이가 수렴하지 않는다는 뜻이고 이는 곧 제곱적분 가능하지 않다는 말이다.

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