📂단층촬영

PAT(광음향 단층촬영)의 원리

Principles of Photocoustic Tomography

광음향 효과

광음향 효과^{photoacoustic/optoacoustic effect}는 1880년에 전화기를 최초로 발명한 사람으로 잘못 알려진¹ Alexander Graham Bell에 의해 발견된² 물리 현상이다.

광음향 단층촬영

수학적 모델

가정: 파동의 속도가 상수

음파란 압력 변화가 매질을 따라 전달되는 것을 말한다. 광음향 효과로 발생된 초기 압력^{initail pressure}을 $f(x)$라고 하자.

$$ \begin{align*} \partial_{tt} p(x,t) =&\ \Delta p(x,t) & x\in \mathbb{R}^{n},\ t \ge 0 \\ p(x,0) =&\ f(x) \\ \partial_{t}p(x,0) =&\ 0 \end{align*} $$

디텍터가 $\Omega$ 위에 존재한다고 하자. 그러면 디텍터에서 측정된 음파는 위와 같은 파동 방정식의 초기값 문제에 대한 솔루션의 디텍터 공간으로의 리스트릭션 $p|_{\Omega}$이다. 초기값 $f$가 주어질 때 마다 솔루션 $p|_{\Omega}$가 결정되므로, 파동 전방 연산자^{wave forward operator} $\mathcal{W}$를 다음과 같이 정의하자.

$$ \mathcal{W} f := p|_{\Omega} $$

그러면 PAT에서의 목표는 주어진 데이터 $\mathcal{W}f$로부터 $f$를 찾는 것, 다시말해 $\mathcal{W}^{-1}$를 찾는 것이다.

가정: 파동의 속도가 위치에 대한 함수

파동 전파 속도는 매질에 따라 달라지는데, 위의 모델에서는 이러한 사실을 반영하지 않있다. 따라서 파동의 속도를 위치(매질)에 따른 함수로 두는 것이 더 정확한 모델이다.

$$ \begin{align*} \partial_{tt} p(x,t) =&\ c^{2}(x)\Delta p(x,t) & x\in \mathbb{R}^{n},\ t \ge 0 \\ p(x,0) =&\ f(x) \\ \partial_{t}p(x,0) =&\ 0 \end{align*} $$

이 경우에 파동 전방 연산자를 다음과 같이 정의한다.

$$ \mathcal{W}_{c} f := p|_{\Omega} $$