주곡률

주곡률

Principal Curvature

정리

곡면 $M$ 위의 각 점에는

  1. 법곡률이 각각 최대, 최소이며
  2. 서로 수직하는 두 방향

이 존재한다.

정의1

  • 점 $p\in M$에서 정의된 바인가르텡 맵 $L$의 고유값 $\kappa_{1}, \kappa_{2}$들을, 점 $p$에서 곡면 $M$의 주곡률principal curvatures이라고 한다. $L$의 고유벡터를, 점 $p$에서의 주방향principal direction이라고 한다.

  • 두 주곡률 $\kappa_{1}, \kappa_{2}$가 서로 같은 점을 엄빌릭umbilic이라 한다.

  • 곡선의 모든 점에서의 탄젠트 벡터가 곡면 $M$ 위의 그 점에서의 주방향이면, 그 곡선을 곡면 $M$ 위의 곡률선line of curvature on a surface $M$이라 한다.

설명

정리에서 말하는 최대, 최소인 법곡률은 정의에서 말하는 $L$의 고유값과 같다.

$S^{2}$와 $\mathbb{R}^{2}$의 모든 점은 엄빌릭이다.


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p129 ↩︎

댓글