포인팅 정리와 포인팅 벡터

포인팅 정리와 포인팅 벡터


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포인팅 정리$(\mathrm{Poynting’s\ theorem})$ 전자기력이 전하에 해준 일은 전자기장에 저장된 에너지의 감소량과 경계면을 통해 밖으로 새어나간 에너지를 더한 것과 같다. $$ \begin{align} \dfrac{dW}{dt} &= -\dfrac{d}{dt} \int_{\mathcal{V}} \dfrac{1}{2} \left( \epsilon_0 E^2 + \dfrac{1}{\mu_0} B^2 \right) d\tau - \dfrac{1}{\mu_0} \oint_{\mathcal{S}} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \cdot d \mathbf{a} \\ &= -\dfrac{d}{dt} \int_{\mathcal{V}} u d\tau - \oint_{\mathcal{S}}\mathbf{S} \cdot d\mathbf{a} \end{align} $$ $\mathcal{S}$는 $\mathcal{V}$의 경계. $u$는 단위부피 공간의 전자기장에 저장된 총 에너지. 우변의 두번째 항의 피적분함수는 전자기장에 실려 단위시간동안에 단위면적을 지나가는 에너지 이고 포인팅 벡터$(\mathrm{Poynting\ vector})$ 라 한다. $$ \mathbf{S} =\dfrac{1}{\mu_0} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) $$ $\mathbf{S}$를 에너지 흐름 밀도$(\mathrm{energy\ flux\ density})$ 라고도 한다.

에너지에 대한 **연속 방정식

$$ \dfrac{\partial u}{\partial t} = -\nabla \cdot \mathbf{S} $$ 전자기장에 저장된 에너지가 보존됨을 말해주는 식이다.

** ** Part 0. 포인팅을 pointing으로 착각하기 쉽지만 Poynting이라는 사람 이름이다. 가리킨다던가하는 등 영어단어 point와는 전혀 관계가 없으므로 착각하지 말자.포인팅 정리는 단위 시간동안에 전자기력이 전하에 해준 일을 어떻게 계산하는지에 대한 정리다. 특히 포인팅 벡터는 전자기학 뒷부분에서 운동량과 에너지에 대한 내용을 다룰 때 계속 등장하는 중요한 개념이다.전하분포를 만들어주는데 필요한 일** (쿨롱힘을 거슬러 해주는 일)과 전류가 흐르게 하는데 필요한 일 (역기전력을 거슬러 해주는 일)은 각각 다음과 같다. $$ W_E =\dfrac{\epsilon_0}{2}\int E^2 d\tau , \quad \quad W_B =\dfrac{1}{2\mu_0}\int B^2 d\tau $$ $\mathbf{E}$와 $\mathbf{B}$는 각각 전하분포, 전류분포가 만드는 전자기장이다. 따라서 단위부피의 공간에 전자기장으로 저장된 총 에너지는 다음과 같다. $$ u =\dfrac{1}{2}\left( \epsilon_0 E^2 +\dfrac{1}{\mu_0} B^2\right) $$

Part 1. 어떤 전하분포와 전류분포로부터 시각 $t$에 전기장 $\mathbf{E}$와 자기장 $\mathbf{B}$가 생겨났다고 하자. 시간 $dt$ 뒤에 전하가 움직였다면 전자기력이 시간 $dt$동안 이 전하에 해준 일 $dW$은 일의 정의와 로런츠 힘 법칙 을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ \begin{align*} dW &= \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s} \\ &= q(\mathbf{E} +\mathbf{v}\times \mathbf{B}) \cdot \mathbf{v} dt \\ &= q\mathbf{E} \cdot \mathbf{v} dt \end{align*} $$ 마지막 등호가 성립하는 이유는 $\mathbf{v}\times \mathbf{B}$는 $\mathbf{v}$와 수직하므로 $(\mathbf{v} \times \mathbf{B})\cdot \mathbf{v}=0$. 혹은 자기력은 일은 하지 않기 때문 이라고 설명할 수 있다. 전하량은 $q=\int \rho d\tau$이고, $\rho\mathbf{v}=\mathbf{J}$이므로 $$ \begin{align*} dW &= \int_{\mathcal{V}} \mathbf{E}\cdot \rho\mathbf{v} d\tau dt \\ &= \int_{\mathcal{V}} \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} d\tau dt \\ \implies \dfrac{dW}{dt} &= \int_{\mathcal{V}} \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} d\tau \tag{1} \end{align*} $$ 따라서 $\mathbf{E} \cdot \mathbf{J}$는 단위시간동안 단위부피에 해준 일이라 할 수 있다. 다르게 표현하면 단위부피에 해준 일률이다. 맥스웰 방정식 $\mathrm{(iv)}$에 의해 $\mathbf{J}=\frac{1}{\mu_0}\nabla \times \mathbf{B} - \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$이므로 $$ \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} = \dfrac{1}{\mu_0}\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) - \epsilon_0 \mathbf{E}\cdot \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $$ 곱셈규칙 (d) $\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) - \nabla \cdot(\mathbf{E} \times \mathbf{B})$와 패러데이 법칙 $\nabla \times \mathbf{E}= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$을 사용하여 첫째항을 더 간단히 나타낼 수 있다. $$ \mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = -\mathbf{B} \cdot \dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} -\nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) $$ 따라서 원래의 식은 $$ \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} = -\left( \epsilon_0 \mathbf{E} \cdot \dfrac{\partial \mathbf{E} } {\partial t} + \dfrac{1}{\mu_0}\mathbf{B}\cdot\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) -\nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) $$ 우변의 첫째항을 간단하게 만들기 위해 아래와 같은 관계식을 쓸 수 있다 $$ \dfrac{\partial}{\partial t} A^2=\dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{A})=2\mathbf{A} \cdot \dfrac{\partial \mathbf{A} }{\partial t} \\ \implies \mathbf{A}\cdot \dfrac{ \partial \mathbf{A}}{\partial t} = \dfrac{1}{2}\dfrac{\partial}{\partial t} A^2 $$ 따라서 원래의 식에 적용시키면 $$ \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} = -\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial }{\partial t} \left( \epsilon_0 E^2 + \dfrac{1}{\mu_0}B^2 \right) -\dfrac{1}{\mu_0}\nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) $$ 마지막으로 이를 식 $(1)$에 대입하면 $$ \begin{align*} \dfrac{dW}{dt} &= -\dfrac{d}{dt} \int_{\mathcal{V}} \dfrac{1}{2}\left( \epsilon_0 E^2 + \dfrac{1}{\mu_0}B^2 \right)d\tau -\dfrac{1}{\mu_0} \int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) d\tau \\ &= -\dfrac{d}{dt} \int_{\mathcal{V}} \dfrac{1}{2}\left( \epsilon_0 E^2 + \dfrac{1}{\mu_0}B^2 \right)d\tau -\dfrac{1}{\mu_0} \oint_{\mathcal{S}} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \cdot d\mathbf{a} \end{align*} $$ 두번째 등호는 발산정리 를 쓰면 성립한다. 우변의 첫번째 항은 글 상단에서 봤듯이 전자기장 속에 저장된 전체 에너지 $u$이다. 포인팅 벡터를 $\mathbf{S} \equiv \frac{1}{\mu_0}( \mathbf{E} \times \mathbf{B})$라고 정의한다. $u$와 $\mathbf{S}$로 포인팅 정리를 간단히 표현하면 $$ \dfrac{dW}{dt} =-\dfrac{d}{dt} \int_{\mathcal{V}} u d\tau - \oint_{\mathcal{S}}\mathbf{S} \cdot d\mathbf{a} $$

Part 2 부피 $\mathcal{V}$속의 전하에 일을 해주지 않으면 그 때는 $\dfrac{dW}{dt}=0$이므로 포인팅 정리는 $$ \int \dfrac{\partial u}{\partial t} d\tau =- \oint \mathbf{S} \cdot d\mathbf{a}=-\int \nabla \cdot \mathbf{S} d\tau $$ 두번째 등호는 발산정리에 의해 성립한다. 따라서 $$ \dfrac{\partial u}{\partial t} = -\nabla \cdot \mathbf{S} $$ 부피 속의 전자기장에 저장된 에너지가 변하면(좌변) 그 만큼 전자기장에 저장된 에너지가 부피의 경계면을 통해 빠져나간다(우변)는 말이다. 즉, 국소적 에너지가 보존된다는 말이다. 하지만 일반적으로는 전자기장의 에너지 자체는 보존되지 않는다. 전자기장과 상호작용하는 물체와 전자기장 모두의 에너지를 계산할 때에만 에너지가 보존된다.

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