멱급수
Power Series
정의
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$S(x) : = \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} ( x - x_{0} )^{k}$ 를 멱급수라 하고, $x_{0}$ 를 $S(x)$ 의 중심Center이라 한다.
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$S(x)$ 가 $|x - x_{0}| < R$ 에 대해 절대수렴하고 $|x - x_{0}| > R$ 에 대해 발산할 때 $R$ 을 $S(x)$ 의 수렴반경Radius of Convergence이라 한다.
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$S(x)$ 가 수렴하는 가장 큰 구간을 수렴구간Interval of Convergence이라 한다.
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수렴구간 $[c,d] \subset (a,b)$ 에서 $x_{0} \in (c,d)$ 을 중심으로 하는 멱급수 $\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} ( x - x_{0} )^{k} = f(x)$ 가 존재하면 $f$ 가 $(a,b)$ 에서 해석적Analytic이라 한다.
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모든 $n$ 에 대해서 $a_{n}=b_{n}$ 이 성립하면 두 멱급수 $\sum \limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0) ^n$, $\sum \limits_{n=0}^\infty b_n(x-x_0) ^n$가 같다고 한다.
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$a_0=a_1=a_2=\cdots=0$ 이면 $\sum \limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^{n}=0,\quad \forall x$
설명
해석학을 학부 때 처음 접해서 배우는 입장에선 왜 ‘미적분학’과 ‘해석학’이 분리되어 있으며, 해석학에서는 왜 그렇게까지 수열이나 급수에 집착하는지 이해가 되지 않을 수 있다. 그래도 흥미를 잃지 않고 멱급수까지 공부했다면 단편적이나마 힌트를 얻을 수 있을 것이다.
당장 해석학을 배우는 이유가 무엇이냐고 묻는다면 ‘어려운 함수를 쉬운 함수로 끌어내리기 위해서’라고 답해도 무방하다. 예로써 초월함수는 어렵지만 다항함수는 쉽다. 만약 그 초월함수가 해석적이라면 다행스러운 일이다. 해석적인 함수란 급수전개할 수 있는 함수고, 급수전개가 가능한 함수란 곧 다항함수의 합으로 풀어헤칠 수 있는 함수라는 뜻이기 때문이다.
멱급수는 기초 해석학에서 중히 다뤄지는 개념으로써 특히 수렴성에 많은 조건이 붙어있다. 제약이 많은만큼 좋은 성질도 많이 가지며, 무한급수임에도 소위 ‘상식적’으로 다루기 좋다.
정리
(a) $R := \lim_{k \to \infty} {{ | a_{k} | } \over { | a_{k+1} | }}$ 가 존재하면 $R$ 은 $S(x)$ 의 수렴반경이다.
(b) 수렴반경 $R > 0$ 이 존재하면 $S(x)$ 는 모든 $x \notin [ x_{0} - R , x_{0} + R ]$ 상에서 발산한다.
(c) 수렴반경 $R > 0$ 이 존재하면 $S(x)$ 는 모든 $x \in ( x_{0} - R , x_{0} + R )$ 에 대해 절대수렴한다.
(d) 수렴반경 $R > 0$ 이 존재하면 $S(x)$ 는 모든 $[a,b] \subset ( x_{0} - R , x_{0} + R )$ 상에서 균등수렴한다.
(e) 수렴반경 $R > 0$ 이 존재하면 $S(x)$ 는 $( x_{0} - R , x_{0} + R )$ 상에서 연속이다.
(f) 수렴반경 $R > 0$ 이 존재하면 $S(x)$ 는 $( x_{0} - R , x_{0} + R )$ 상에서 무한번 미분가능하고
$$ S^{(k)} (x) = \sum \limits_{n=k}^{\infty} {{n!} \over {(n-k)!}} a_{n} (x - x_{0} )^{n-k} $$
(g) $S(x)$ 가 $[a,b]$ 상에서 수렴하면 $[a,b]$ 에서 적분가능하고
$$ \int_{a}^{b} S(x) dx = \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} \int_{a}^{b} (x - x_{0} )^{k} dx $$
