전위와 전자기장

전위와 전자기장


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**맥스웰 방정식$(\mathrm{Maxwell’s\ equations})$ $(a) \quad \nabla \cdot \mathbf{E}=\dfrac{1}{\epsilon_0}\rho $ **가우스 법칙 $(b) \quad \nabla \cdot \mathbf{B}=0$ (자기장에 대한 가우스 법칙)$(c) \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ **패러데이 법칙 $(d) \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}+\mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $ 앙페르 법칙

전위 형식

시간에 따라 전하, 전류분포가 변할 때의 전기장 및 자기장은 $$ \mathbf{E}= -\nabla V-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} $$

$$ \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} $$

전하밀도 $\rho(\mathbf{r}, t)$와 전류밀도 $\mathbf{J}(\mathbf{r},t)$가 일정하면1 를 알 때 쿨롱 법칙비오-사바르 법칙을 통해서 전기장 $\mathbf{E}(\mathbf{r},t)$와 자기장 $\mathbf{B}(\mathbf{r},t)$를 구할 수 있다. 전하와 전류가 시간에 따라 변하면 이를 구하는 것은 조금 더 어렵다. 정전기학에서는 $\nabla\times \ \mathbf{E}=0$이고 기울기의 회전은 $0$이므로 $\mathbf{E}=-\nabla V$로 나타낼 수 있었다. 그러나 전기역학에서는 $\nabla \times \mathbf{E} = -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$이므로 정전기학에서와 같이 스칼라 전위의 기울기로 나타낼 수 없다. 그러나 여전히 자기장의 발산은 $0$이고 회전의 발산은 $0$이므로 정자기학에서와 마찬가지로 자기장을 벡터 전위의 회전으로 나타낼 수 있다. $$ \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\quad \cdots (1) $$ 이를 패러데이 법칙에 대입하면 $$ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial }{\partial t} (\nabla \times \mathbf{A}) \\ \implies \nabla \times \left( \mathbf{E} +\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right)=0 $$ 따라서 $\mathbf{E} +\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$의 회전이 $0$이므로 스칼라 전위의 기울기로 나타낼 수 있다. $$ \mathbf{E} +\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}=-\nabla V \\ \implies \mathbf{E}= -\nabla V-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \quad \cdots (2) $$ $\mathbf{A}$가 상수이면 $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}=0$이고 정전기학에서의 결과와 같다. $(2)$를 가우스 법칙 $(a)$에 대입하면 $$ \nabla \cdot ( \nabla V) +\nabla \cdot \left( \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \right)=-\frac{1}{\epsilon_0}\rho \\ \implies \nabla ^2 V +\dfrac{\partial }{\partial t}(\nabla \cdot \mathbf{A}) =-\frac{1}{\epsilon_0}\rho \quad \cdots (3) $$ 또한 $(1)$, $(3)$ 을 앙페르 법칙 $(d)$에 대입하면 $$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=\mu_0 \mathbf{J}-\mu_0\epsilon_0 \nabla\left( \dfrac{\partial V}{\partial t}\right)-\mu_0\epsilon_0 \dfrac{\partial ^2 \mathbf{A} }{\partial t^2} $$ 이때 회전의 회전은 $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=\nabla ( \nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla ^2 \mathbf{A}$이므로 위의 식은 $$ \nabla ( \nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla ^2 \mathbf{A}=\mu_0 \mathbf{J}-\mu_0\epsilon_0 \nabla\left( \dfrac{\partial V}{\partial t}\right)-\mu_0\epsilon_0 \dfrac{\partial ^2 \mathbf{A} }{\partial t^2} $$

$$ \implies \left( \nabla ^2 \mathbf{A}-\mu_0\epsilon_0 \dfrac{\partial ^2 \mathbf{A} }{\partial t^2} \right) -\nabla\left( \nabla \cdot \mathbf{A} +\mu_0\epsilon_0 \dfrac{\partial V}{\partial t}\right)=-\mu_0 \mathbf{J} \quad \cdots (4) $$ 4개의 맥스웰 방정식에 대한 정보가 $(3)$, $(4)$에 모두 들어있다.


  1. 시간이 흐름에 따라 변하지 않으면 ↩︎

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