위치, 속도, 가속도
Position, Velocity, Acceleration
위치
정의
물체의 위치를 나타내는 함수를 위치 함수, 간단히 위치position라 한다.
설명
물리학에서는 시간에 따른 위치의 변화(이를 운동이라 함)를 생각하므로 위치는 $x = x(t)$와 같은 시간을 변수로 갖는 함수이다. 1차원 공간을 가정할 때는 주로 $x$라 표기한다. 2차원 혹은 3차원 공간을 생각할 때는 주로 볼드체 r인 $\mathbf{r}$로 표기하고, 위치 벡터라고 말한다. 수학적으로 표현하면 다음과 같다.
$$ \mathbf{r} : [0, \infty) \to \mathbb{R}^{n},\quad n=1,2,3 $$
3차원 공간에서 주로 쓰이는 위치벡터의 표기로는 다음의 것들이 있다. 위치 함수를 명시적으로 표현하지 않을 땐 변수 $(t)$를 생략해서 쓰는 경우가 많다.
$$ \begin{align*} \mathbf{r} &= (x, y, z) \\ &= x\hat{\mathbf{x}} + y\hat{\mathbf{y}} + z\hat{\mathbf{z}} \\ &= x\hat{\mathbf{e}_{1}} + y\hat{\mathbf{e}_{2}} + z\hat{\mathbf{e}_{3}} \\ &= x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \end{align*} $$
칠판에서는 보통 화살표를 써서 $\vec{r}$과 같이 적지만, 교재에서는 볼드체로 표현해 $\mathbf{r}$로 쓴다. 위치-시간 그래프를 그릴 땐 수평축을 시간 $t$, 수직축을 위치 $x$로 두는 것이 일반적이다.
변위
시간 $t_{0}$부터 $t_{1}$까지 위치의 변화를 변위라고 한다. 잘 쓰지 않는 말이다.
$$ \Delta \mathbf{r} = \mathbf{r}(t_{1}) - \mathbf{r}(t_{0}) $$
시간 $t_{0}$와 $t_{1}$에서의 차이만 생각하므로, 변위가 $0$이라고 해서 그 시간동안 움직이지 않았다는 뜻은 아니다.
속도
정의
위치 함수의 도함수를 속도velocity라 하고, $\mathbf{v}$라 표기한다.
$$ v(t) = \dfrac{d x(t)}{d t} $$
$$ \mathbf{v}(t) = \dfrac{d \mathbf{r}(t)}{d t} $$
설명
속도가 상수함수이면, 물체가 등속 운동uniform motion을 한다고 말한다.
적분은 미분의 역역산이므로 다음이 성립한다.
$$ x(t_{1}) = x(t_{0}) + \int_{t_{0}}^{t_{1}} v(\tau) d\tau $$
평균속도
변위를 운동 시간 $\Delta t = t_{1} - t_{0}$으로 나눈 것을 평균 속도라고 한다.
$$ \overline{v} = \dfrac{\Delta x}{\Delta t} $$
$$ \overline{\mathbf{v}} = \dfrac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t} $$
속력
속도의 크기 $\left| \mathbf{v} \right|$를 속력speed이라 한다. 개인적으로는 속력이라는 말을 쓰지 않아야한다고 생각한다. 딱히 중요한 개념도 아니고 그냥 속도의 크기만으로 충분하다. 괜히 처음 물리를 배울 때 헷갈리기만 해서 좋지 않다.
도(度)는 정도, 그러니까 스칼라를 의미하고, 력(力)은 힘, 그러니까 벡터를 의미하기 때문에 속도와 속력의 번역이 잘못되었다는 의견이 있다.
가속도
정의
속도의 도함수를 가속도acceleration라 하고, $\mathbf{a}$라 표기한다.
$$ a(t) = \dfrac{d v(t)}{d t} $$
$$ \mathbf{a}(t) = \dfrac{d \mathbf{v}(t)}{d t} $$
설명
가속도는 위치 함수의 이계도함수이다. 적분은 미분의 역역산이므로 다음이 성립한다.
$$ v(t_{1}) = v(t_{0}) + \int_{t_{0}}^{t_{1}} a(\tau) d\tau $$
가속도가 상수함수이면, 물체가 등가속도 운동uniform acceleration motion을 한다고 말한다. 전공 물리를 포함해서, 우리가 배우는 대부분의 물리적인 상황에서 등가속도 운동을 가정한다.