다항 함수

다항 함수

Polynomial Function

정의 1

$n \in \mathbb{N}_{0}$ 과 $\left\{ a_{k} \right\}_{k=0}^{n} \subset \mathbb{C}$ 에 대해 다음과 같이 정의된 $P: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 를 $n$차 다항 함수Polynomial of degree $n$라 한다. $$ P(z) := a_{0} + a_{1} z + \cdots a_{n} z^{n} \qquad , a_{n} \ne 0 $$

설명

다항 함수는 수학 전반에서 가장 쉽게 생각할 수 있는 함수로써, 대수학의 기본정리에 의해 근이 정확히 $n$ 개 존재함이 밝혀져있다.

  • 정의에서 상수함수 역시 다항함수다.
  • 다항함수는 무한번 미분가능하다.
  • 연속함수다.

추상대수

추상대수에서의 노테이션으로 위와 같은 다항함수들의 집합을 $\mathbb{C}[x]$ 과 같이 나타낸다. 여기서 계수들의 집합은 딱히 복소수체 $\mathbb{C}$ 로 제한되어 있지 않고 $F$ 가 주어져 있다면 $F [ x ]$ 와 같이 나타낼 수 있다.

다항함수의 차수는 무한히 많아도 딱히 상관 없다. $n = \infty$ 인 경우에는 그러한 다항함수들의 집합을 $F[[x]]$ 와 같이 나타낸다.


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p24. ↩︎

댓글