폴란드 공간

폴란드 공간

정의

다음의 조건들을 만족시키는 위상 공간 $X$ 를 폴란드 공간이라 한다.

**(i): $X$ 는 거리화 가능 공간이다.

(ii): $X$ 는 가분 공간이다.

(iii): $X$ 는 완비 공간이다.

설명

원어가 Polish Space 인데 순화된 표현이 폴란드 공간 인 것에서 짐작할 수 있듯, 우리가 아는 ‘폴란드’에서 따온 말이 맞다. 이 공간이 처음 활발하게 연구한 것이 폴란드 출신의 위상수학자들과 논리학자들이었기 때문에 이런 이름이 붙었다. 이름에 대해 조금 더 이야기를 해보자면, 조건 (i)에서 거리화 가능 공간이 아니라 정확히 거리 공간 $(X,d)$ 가 되면 폴란드 거리 공간이라 부른다. 하지만 폴란드 공간의 실제 응용에서 거리화 가능성이 지나치게 일반적이라 판단되고, 사실 거리 공간으로 충분하다면 맥락상 그냥 폴란드 (거리) 공간폴란드 공간이라 부르기도 한다.폴란드 공간은 완비 거리 공간이라는 상식적인 공간에서 가분성이라는 성질을 더했다. 세퍼러블하다는 것은 카운터블한 것과 관계가 많아서 측도론, 그 중에서도 특히 확률론에서 응용되기 쉽다.

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