유리형함수의 영점과 극점

유리형함수의 영점과 극점

Poles and zeros of meromorphic Function

정리 1

단순폐경로 $\mathscr{C}$ 에서 해석적인 함수 $f$ 가 $\mathscr{C}$ 내부에서 $Z$개의 영점과 $P$개의 극점을 갖고 $\mathscr{C}$ 상에서 $f(z) \ne 0$ 이라고 하자. 그러면 $$ {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f ' (z)} \over {f(z)}} dz = Z - P $$


  • $Z$ 와 $P$ 는 중복되는 수를 모두 더한 수다.

설명

$f$ 가 극점을 갖지 않는다면 방정식 $f(z) = 0$ 의 해의 갯수를 구하는 공식이 될 것이다. 눈여겨봐야할 점은 정수가 등장했다는 것이다. 복소해석은 언뜻 봐서는 정수론과 전혀 관계가 없을 것 같지만 실제론 굉장히 많이 사용되고 있다. 아예 정수론에서는 복소해석을 사용하지 않은 증명을 일컫는 ‘초등적 증명’이라는 단어가 있을 정도다.

증명

$\alpha$ 를 $f$ 의 order $n$인 영점이라고 하자. 그러면 어떤 함수 $g$ 에 대해 $f(z) = (z- \alpha)^n g(z)$ 로 나타낼 수 있을 것이다.

한편 $\displaystyle {{f ' (z)} \over {f(z)}} = {{n} \over {z - \alpha}} + {{g'(z)} \over {g(z)}}$ 에서 $\displaystyle {{g'(z)} \over {g(z)}}$ 는 $\alpha$ 의 근방 $\mathcal{N}_{\alpha}$ 에서 해석적이므로, 코시 정리에 의해 $$ \int_{\mathcal{N}_{\alpha}} {{g'(z)} \over {g(z)}} = 0 $$ 코시 적분 공식에 의해 $$ \int_{\mathcal{N}_{\alpha}} {{n} \over {z - \alpha}} = 2 n \pi i $$

이는 극점에 대해서도 비슷하다. $\beta$ 를 $f$ 의 차수 $m$인 극점이라고 하자. 그러면 어떤 함수 $h$ 에 대해 $\displaystyle f(z) = {{h(z)} \over {(z - \beta)^m}}$ 로 나타낼 수 있을 것이다.

한편 $\displaystyle {{f ' (z)} \over {f(z)}} = {{h’(z)} \over {h(z)}} - {{m} \over {z - \alpha}}$ 에서 $\displaystyle {{h’(z)} \over {h(z)}}$ 는 $\beta$ 의 근방 $\mathcal{N}_{\beta}$ 에서 해석적이므로,코시 정리에 의해 $$ \int_{\mathcal{N}_{\alpha}} {{h’(z)} \over {h(z)}} = 0 $$ 코시 적분 공식에 의해 $$ \int_{\mathcal{N}_{\beta}} {{m} \over {z - \alpha}} = 2 m \pi i $$ 일반화된 수축 보조정리에 의해, 모든 영점과 극점에 대해 위의 논의를 반복하면 $$ {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f ' (z)} \over {f(z)}} dz = Z - P $$


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p98. ↩︎

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