e^-x^2꼴의 정적분, 가우스 적분, 오일러-푸아송 적분

e^-x^2꼴의 정적분, 가우스 적분, 오일러-푸아송 적분

정리

가우스 함수 $f(x)=e^{-x^2}$ 의 전체 영역에 대한 적분은 다음과 같다.

$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx= \sqrt{\pi} $$

설명

위 적분을 가우스 적분Gaussian integral, 혹은 오일러-푸아송 적분Euler-Poisson integral이라고 부른다.

고등학생에겐 충격적인 적분이자 특히 통계학에선 어마어마하게 중요한 적분이기도 하다. 그도 그럴 것이 고등학교 과정 내에서는 원시함수를 구할 수 없어 계산이 되지 않기 때문이다. 그런 한편 통계 파트에선 정규분포의 확률을 구하고 있어서 궁금하기는 또 상당히 궁금하다.

물리학자 켈빈은 ‘이 적분이 당연해 보이는 사람을 수학자라고 한다’는 말을 남겼다고 한다.

다음과 같이 일반화된 공식이 많이 쓰인다.

$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2} dx= \sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}} $$

증명

Strategy: $x$ 와 독립인 $y$ 를 만들어낸 후 극좌표계로 바꾸어 폐구간에 대한 적분으로 바꾼다. 고등학교 수준에서도 파푸스-굴딘 정리를 통해 회전체의 부피를 구하는 식으로 증명하는 방법이 있다고 하지만, 본질적으로 이 증명과 같은데다가 그런 방법 역시 이상적분을 포함하고 있으므로 고등학생 수준이라고 하긴 어렵다.


$\displaystyle I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx$ 라고 하면 $\displaystyle I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} dy$ 으로도 나타낼 수 있다. $x$와 $y$ 는 독립이므로

$$ \begin{align*} I^2 =& \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} dy \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-( x^2 + y^2 ) } dxdy \end{align*} $$

극좌표계로 바꾸면

$$ \begin{align*} I^2 =& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2 } r dr d\theta \\ =& \int_{0}^{2 \pi} \left[ {{-e^{-r^2}} \over {2}}\right]_{0}^{\infty} d\theta \\ =& \int_{0}^{2 \pi} {{1} \over {2}} d\theta \\ =& \pi \end{align*} $$

따라서

$$ I =\sqrt{\pi} $$

따름정리

$$ \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx= {{\sqrt{\pi}} \over {2}} $$

한편 적분범위가 $0$ 부터 $\infty$ 까지라면 극좌표를 사용할 수 없다. 물론 가우스 함수의 모양을 보면 $x=0$ 에 대해서 우함수이므로 굳이 계산을 해보지 않아도 절반이 된다는 것을 짐작할 수 있지만, 범위가 무한히 긴 이상적분이니만큼 정확하게 확인해보도록 하자.

증명

$$ \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx $$

여기서 $x :=-y$ 와 같이 치환하면

$$ x \rightarrow 0,\ y \rightarrow 0 \\ x \rightarrow \infty,\ y \rightarrow -\infty \\ x^2=y^2 $$

$dx=-dy$이므로

$$ \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = -\int_{0}^{-\infty} e^{-y^2} dy=\int_{-\infty}^{0} e^{-y^2} dy $$

적분변수는 정적분에서 영향을 주지 않으므로 $\displaystyle \int_{-\infty}^{0} e^{-y^2} dy=\int_{-\infty}^{0} e^{-x^2} dx$ 로 쓸 수 있고, 따라서

$$ \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx + \int_{-\infty}^{0} e^{-x^2} dx= 2\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx $$

위의 결과를 사용하면

$$ \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx=\frac{1}{2}\sqrt{\pi} $$

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