이항분포의 극한분포로써 푸아송분포 유도

이항분포의 극한분포로써 푸아송분포 유도

정리

$X_{n} \sim B(n,p)$이라고 하자.

$\mu \approx np$ 이면 $$ X_{n} \overset{D}{\to} \text{Poi} (\mu) $$


설명

여기엔 $\mu \approx np$ 이라는 조건이 필요한 것에 주목하자. $ np \approx npq$ 이므로 $q = (1-p) \approx 1$ 즉, $p \approx 0$ 이다. 이는 $p$가 아주 작은 것을 뜻한다.

한편 $\displaystyle p \approx { {\mu} \over {n} }$ 이므로 $n$은 아주 커야할 것이다. 이런 조건이 나오게 된 경위는 푸아송분포의 평균과 분산이 같다는 점에서 쉽게 납득할 수 있을 것이다.

증명

적률생성함수 $M_{X} (t)$를 생각해보자. $$ \displaystyle M_{X} (t) = \left\{ (1-p) + p e^{t} \right\} ^{n} = \left\{ 1 + p (e^{t} - 1 ) \right\} ^{n} $$ $\displaystyle p \approx { {\mu} \over {n} } $이므로 $$ M_{X} (t) = \left\{ 1 + { {\mu (e^{t} - 1 )} \over {n} } \right\} ^{n} $$ 따라서 $$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} M_{X} (t) = e^{ \mu (e^{t} - 1 ) } $$ $ e^{ \mu (e^{t} - 1 ) }$ 는 $\text{Poi}(\mu)$ 의 적률생성함수이므로, $X_{n}$ 은 $ \text{Poi} (\mu)$ 으로 분포수렴한다.

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