포흐하머 기호

포흐하머 기호

pochhammer symbol

정의

포흐하머 기호는 아래와 같이 두 종류의 표현이 있다.

아래의 식을 하강 계승falling factorial이라 정의한다.

$$ \begin{align*} x^{\underline{n}} := (x)_{n}&=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1) \\ &=\frac{x!}{(x-n)!}=\frac{\Gamma (x+1) }{ \Gamma(x-n+1)} \\ &=\prod \limits_{k=0}^{n-1}(x-k) \end{align*} $$

아래의 식을 상승 계승rasing factorial이라 정의한다.

$$ \begin{align*} x^{\overline{n}} := x^{(n)}&=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1) \\ &=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}=\frac{\Gamma (x+n) }{ \Gamma(x)} \\ &=\prod \limits_{k=0}^{n-1}(x+k) \end{align*} $$

$x^{\overline{0}}$과 $x^{\underline{0}}$은 $1$로 정의한다.

$$ x^{\overline{0}}=x^{\underline{n}}=1 $$

설명

조합론에서 연속된 정수들의 곱을 나타내는 기호이다. 팩토리얼은 곱셈을 시작하는 수가 1로 고정되어있다. 따라서 팩토리얼만으로 표현하기 어렵거나 팩토리얼만으로 표현했을 때 수식이 지저분해질 경우 포흐하머 기호가 유용하게 쓰일 수 있다. 또한 $x$가 정수가 아닌 경우에도 사용된다. 여러가지 표기 방식이 존재하므로 읽고 있는 교재에서 저자가 어떻게 정의했는지 잘 확인해야한다.

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