피카드 메소드

피카드 메소드

정리1

$E$가 $\mathbb{R}^{n}$에서 오픈이고 $f \in C^{1} (E)$에 대해 아래와 같은 초기값 문제가 주어졌다고 하자.

$$ \begin{cases} \dot{ \phi } = f ( \phi ) \\ \phi (0) = \phi_{0} \end{cases} $$

함수열 $\left\{ u_{k} (t) \right\} _{ k =0}^{ \infty }$ 을 아래와 같이 정의하자.

$$ \begin{cases} u_{0} (t) = \phi_{0} \\ u_{k+1} (t) = \phi_{0} + \int_{0}^{t} f \left( u_{k} (s) \right) ds \end{cases} $$

그러면 연속함수 $u (t) := \lim_{k \to \infty} u_{k} (t)$ 는 주어진 초기값 문제의 솔루션이다.

설명

당연히 $u$ 는 존재하는 것으로 가정하며, 존재하지 않는다면 의미 없는 정리다. 또한 $u$ 는 연속이어야 하지만 $u_{k}$ 가 연속일 필요는 없다. 이렇듯 엄밀한 수학이라고 부르기에 엉성한 부분들은 보통 이 메소드가 쓰이는 정리에서 보완한다.

증명

$$ \begin{align*} u (t) = \lim_{k \to \infty} u_{k+1} (t) =& \lim_{k \to \infty} \left( \phi_{0} + \int_{0}^{t} f \left( u_{k} (s) \right) ds \right) \\ =& \phi_{0} + \int_{0}^{t} \lim_{k \to \infty} f \left( u_{k} (s) \right) ds \\ =& \phi_{0} + \int_{0}^{t} f \left( \lim_{k \to \infty} u_{k} (s) \right) ds \quad \text{by continuity of } f \\ =& \phi_{0} + \int_{0}^{t} f \left( u(s) \right) ds \end{align*} $$

$t = 0$ 이면

$$ u (0) = \phi_{0} + \int_{0}^{0} f \left( u(s) \right) ds = \phi_{0} + 0 = \phi_{0} $$

미적분학의 기본정리함수 $f$ 가 폐구간 $[a,b]$ 에서 연속이면 함수 $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$ 는 $[a,b]$ 에서 연속, $(a,b)$ 에서 미분가능하며

$$ {{dF(x)} \over {dx}} = f(x) $$

$u$ 가 연속이므로 $( f \circ u )$ 역시 연속이고, 미적분학의 기본정리에 의해

$$ \dot{u } (t) = \left( \phi_{0} + \int_{0}^{t} f \left( u(s) \right) ds \right)' = f \left( u (t) \right) $$

따라서 $u$ 는 주어진 초기값 문제의 솔루션임을 알 수 있다.


  1. William E. Boyce , Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p83-90 ↩︎

댓글