피카드 정리

피카드 정리

빌드업1

다음과 같은 ODE 시스템을 생각해보자.

$$ \begin{equation} \begin{aligned} x_{1}^{\prime}(t) =&\ F_{1}(t,x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) \\ x_{2}^{\prime}(t) =&\ F_{2}(t,x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) \\ \vdots & \\ x_{n}^{\prime}(t) =&\ F_{n}(t,x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) \end{aligned} \end{equation} $$

$t=t_{0}$일 때 각각의 $x_{i}$의 값을 다음과 같다고 하자.

$$ \begin{equation} x_{1}(t_{0}) = x_{1}^{0}, x_{2}(t_{0}) = x_{2}^{0}, \dots, x_{n}(t_{0}) = x_{n}^{0} \end{equation} $$

$(1)$과 $(2)$ 묶어 연립 1계 미분방정식초기값 문제initial value problem이라고 하고, 이때의 solution $x_{1} = \phi_{1}(t), x_{2} = \phi_{2}(t), \dots, x_{n} = \phi_{n}(t)$를 찾는 것을 초기값 문제를 푼다고 한다.

정리

$n$개의 함수 $F_{1}, \dots, F_{n}$와 $n^{2}$개의 1계 도함수 $\dfrac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}}, \dots, \dfrac{\partial F_{1}}{\partial x_{n}}, \dots, \dfrac{\partial F_{n}}{\partial x_{1}}, \dots, \dfrac{\partial F_{n}}{\partial x_{n}}$가 모두 어떤 영역 $R = \left\{ (t, x_{1},\dots, x_{n}) : \alpha \lt t \lt \beta, \alpha_{1} \lt x_{1} \lt \beta_{1}, \dots, \alpha_{n} \lt x_{n} \lt \beta_{n} \right\}$에서 연속이라고 하자. 점 $\left( t_{0}, x_{1}^{0}, \dots, x_{n}^{0} \right)$이 $R$의 점이라고 하자.

그러면 어떤 구간 $\left| t - t_{0} \right| \lt h$에서 초기값 문제 $(1), (2)$를 만족시키는 해 $x_{1} = \phi_{1}(t), x_{2} = \phi_{2}(t), \dots, x_{n} = \phi_{n}(t)$가 유일하게 존재한다.

설명

1계 상미분방정식의 초기값 문제에 대해서 솔루션이 유일하게 존재한다는 내용을 연립 방정식으로 일반화한 것이다.


  1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p283-284 ↩︎

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