📂상미분방정식

피카드 정리

Picard Theorem for System of ODE

빌드업¹

다음과 같은 ODE 시스템을 생각해보자.

$$ \begin{equation} \begin{aligned} x_{1}^{\prime}(t) =&\ F_{1}(t,x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) \\ x_{2}^{\prime}(t) =&\ F_{2}(t,x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) \\ \vdots & \\ x_{n}^{\prime}(t) =&\ F_{n}(t,x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) \end{aligned} \end{equation} $$

$t=t_{0}$일 때 각각의 $x_{i}$의 값을 다음과 같다고 하자.

$$ \begin{equation} x_{1}(t_{0}) = x_{1}^{0}, x_{2}(t_{0}) = x_{2}^{0}, \dots, x_{n}(t_{0}) = x_{n}^{0} \end{equation} $$

$(1)$과 $(2)$ 묶어 연립 1계 미분방정식의 초기값 문제^{initial value problem}이라고 하고, 이때의 해^solution $x_{1} = \phi_{1}(t), x_{2} = \phi_{2}(t), \dots, x_{n} = \phi_{n}(t)$를 찾는 것을 초기값 문제를 푼다고 한다.

정리

$n$개의 함수 $F_{1}, \dots, F_{n}$와 $n^{2}$개의 1계 도함수 $\dfrac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}}, \dots, \dfrac{\partial F_{1}}{\partial x_{n}}, \dots, \dfrac{\partial F_{n}}{\partial x_{1}}, \dots, \dfrac{\partial F_{n}}{\partial x_{n}}$가 모두 어떤 영역 $R = \left\{ (t, x_{1},\dots, x_{n}) : \alpha \lt t \lt \beta, \alpha_{1} \lt x_{1} \lt \beta_{1}, \dots, \alpha_{n} \lt x_{n} \lt \beta_{n} \right\}$에서 연속이라고 하자. 점 $\left( t_{0}, x_{1}^{0}, \dots, x_{n}^{0} \right)$이 $R$의 점이라고 하자.

그러면 어떤 구간 $\left| t - t_{0} \right| \lt h$에서 초기값 문제 $(1), (2)$를 만족시키는 해 $x_{1} = \phi_{1}(t), x_{2} = \phi_{2}(t), \dots, x_{n} = \phi_{n}(t)$가 유일하게 존재한다.

설명

1계 상미분방정식의 초기값 문제에 대해서 솔루션이 유일하게 존재한다는 내용을 연립 방정식으로 일반화한 것이다.