주기함수의 한 주기 적분은 적분 구간에 상관없이 항상 같은 값을 가진다

주기함수의 한 주기 적분은 적분 구간에 상관없이 항상 같은 값을 가진다

정리

$f$를 $2L$-주기함수라고 하자. 그러면 아래의 값은 $a$의 값에 상관없이 일정하다.

$$ \int_a^{a+2L}f(t)dt $$

설명

주기함수의 정의에 의하면 당연한 사실이다. 이러한 사실로부터 주기함수를 적분할 때 적분구간을 변경하는 등의 테크닉을 쓸 수 있다.

또한 함숫값의 평균과 연관지어서 생각하면 주기함수의 한 주기 평균은 일정하다는 뜻인데 이 역시 주기함수의 정의를 생각해보면 매우 당연한 사실이다.

증명

$\displaystyle g(a)=\int_a^{a+2L} f(t)dt$라고 하자. $g(a)$를 $a$로 미분하여 $0$이 나오면 증명 완료이다. 우선 적분구간을 다음과 같이 나누어주자.

$$ g(a)=\int_0^{a+2L}f(t)dt - \int_0^a f(t)dt $$

그러면 미적분학의 기본 정리에 의해 다음이 성립한다.

$$ g'(a)= f(a+2L) - f(a) $$

여기서 $f$의 조건에 의해 $f(t+2L)=f(t)$이므로 다음을 얻는다.

$$ g'(a)=0 $$

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