완전 탄성 충돌과 운동에너지 보존

완전 탄성 충돌과 운동에너지 보존

정리

반발계수$e$가 $1$일 때 완전 탄성 충돌이라 한다. 완전 탄성 충돌에는 중요한 특징이 두가지 있다.

(a) 충돌 전 후의 각 물체의 운동에너지 합이 보존된다.

(b) 두 물체의 질량이 같으면 충돌 후 속도가 서로 교환된다.

증명

(a)

운동량 보존 법칙에 의해서

$$m_1v_1+m_2v_2 = m_1{v_1}^{\prime}+m_2{v_2}^{\prime}$$

$$\implies m_1v_1 - m_1{v_1}^{\prime} = m_2{v_2}^{\prime} - m_2v_2$$

$$\begin{equation}\implies m_1(v_1 - {v_1}^{\prime}) = m_2 ( {v_2}^{\prime}-v_2)\end{equation}$$

완전 탄성 출동의 경우 반발계수가 $e=1$이므로

$$e= \dfrac{ {v_2}^{\prime} - {v_1}^{\prime} }{ v_1 - v_2 }=1$$

$$ \implies {v_2}^{\prime} - {v_1}^{\prime} = v_1 - v_2 $$

$$\begin{equation} \implies v_1 + {v_1}^{\prime} = v_2 + {v_2}^{\prime}\end{equation}$$

좌변에 우변에 같은 것을 곱하면 여전히 식이 성립한다. 따라서 $(1)$의 좌변, 우변에 $(2)$의 좌변, 우변을 각각 곱해주면

$$m_1(v_1 - {v_1}^{\prime}) (v_1 + {v_1}^{\prime}) = m_2 ({v_2}^{\prime} - v_2) ( {v_2}^{\prime} - v_2)$$

$$\implies m_1({v_1}^2 - {{v_1}^{\prime}}^2) = m_2 ( {{v_2}^{\prime}}^2 - {v_2}^2)$$

$$\implies \dfrac{1}{2}m_1{v_1}^2 - \dfrac{1}{2}m_1{{v_1}^{\prime}}^2 = \dfrac{1}{2}m_2{{v_2}^{\prime}}^2 -\dfrac{1}{2}m_2 {v_2}^2$$

$$\implies \dfrac{1}{2}m_1{v_1}^2 + \dfrac{1}{2}m_2 {v_2}^2= \dfrac{1}{2}m_1{{v_1}^{\prime}}^2 + \dfrac{1}{2}m_2{{v_2}^{\prime}}^2$$

즉, 충돌 전후로 각 물체의 운동에너지 합이 보존된다.

(b)

질량이 같을 경우 $m_1=m_2$이므로 $(1)$은

$$v_1 - {v_1}^{\prime} = {v_2}^{\prime}-v_2$$

반발계수로부터 나온 식은

$$v_1 + {v_1}^{\prime} = v_2 + {v_2}^{\prime}$$

두 식을 더하면

$$2v_1 = 2{v_2}^{\prime}$$

$$\implies v_1={v_2}^{\prime}$$

두 식을 빼면

$$2{v_1}^{\prime}=2v_2$$

$$\implies {v_1}^{\prime}=v_2$$

따라서 두 물체의 충돌 전 후 속도가 교환된다.

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