펠 방정식

펠 방정식

Pells equation

빌드업

$a_{n} : = n^2$ 를 사각수Square Number라 한다.

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$\displaystyle b_{m} : = {{ m ( m + 1 ) } \over {2}}$ 를 삼각수Triangular Number라 한다.

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이들 중에서 사각수면서도 삼각수인 수가 있는지 한번 생각해보면, 당장 $a_{1} =b_{1} = 1$ 과 $\displaystyle a_{6} = 6 ^2 = 36 = {{ 8 \cdot 9 } \over {2}} = b_{8}$ 이 있다. 이제 일반적으로 사각수이면서도 삼각수인 경우를 생각해보자. $$ \begin{align*} & n^2 = {{ m ( m + 1 ) } \over {2}} \\ & \implies 8 n^2 = 4 m ( m + 1 ) \\ & \implies 8 n^2 = ( 2 m + 1 )^2 - 1 \end{align*} $$ 여기서 $x := 2m + 1$, $y := 2n$ 으로 두면 $$ 2 y^2 = x^2 - 1 $$ 이렇게 정리해보면 ‘사각수면서도 삼각수인 수가 무엇인가’라는 질문은 $x^2 - 2 y^2 = 1$ 의 자연수해를 찾는 질문으로 바뀐다.

정의 1

이러한 방정식을 일반화한 것이 바로 펠의 방정식 이고, 다음과 같은 정리가 알려져있다.

정리

  • [1]: 제곱수가 아닌 $D \in \mathbb{N}$ 에 대해 $x^2 - D y^2 = 1$ 은 항상 해를 가진다.
  • [2]: $( x_{1} , y_{1} )$ 가 이 해들 중 $x_{1}$ 의 값이 가장 작은 해라고 하면 모든 해 $(x_{k} , y_{k})$ 는 $x_{k} + y_{k} \sqrt{D} = \left( x_{1} + y_{1} \sqrt{D} \right)^{k}$ 와 같이 구해진다. 단, $k , x_{k} , y_{k} \in \mathbb{N}$ 이다.

설명

사각수와 삼각수에서 바로 이어지는 예로써 $x^2 - 2 y^2 = 1$ 를 만족시키는 자연수해는 $3^2 - 2 \cdot 2^2 = 1$ 이므로 $(3,2)$ 가 있다. $x = 3 = 2m + 1$ 이고 $y = 2 = 2n$ 으로 정의했으므로 이것은 가장 간단한 케이스인 $n= m =1$ 과 딱 맞는다. 이제 $k=2$ 인 경우를 생각해보면, $$ x_{2} + y_{2} \sqrt{2} = \left( 3 + 2 \sqrt{2} \right)^2 = 17 + 12 \sqrt{2} $$ 이다. 실제로 $x = 17 = 2m + 1 $ 그리고 $ y = 12 = 2n$ 으로 정의했으므로 이 값은 우리가 알고 있는 $m=8$, $n=6$ 이 된다.

이러한 펠의 방정식에서 가장 눈에 띄는 것은 분명히 정수론임에도 불구하고 무리수인 $\sqrt{2}$ 를 계산에 사용했다는 것인데, 이러한 확장은 복소수에 대해서도 가능하다. 또한 식의 모양이 쌍곡선의 방정식과 같으므로 이에 관한 어떤 논의가 있었음을 짐작할 수 있다.


  1. Silverman. (2012). A Friendly Introduction to Number Theory (4th Edition): p245. ↩︎

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