경로연결 성분

경로연결 성분

정의 1

위상공간 $X$ 의 경로연결 부분공간들 중 자기 자신만을 연결 초집합Superset으로 갖는 경로연결 집합을 $X$ 의 경로연결 성분Path Connected Component이라 한다. 특히 $x \in X$ 를 포함하는 경로연결 성분을 $P_{x}$ 라 쓴다.

정리

연결 성분과의 차이점

개념적으로는 연결 성분과 다른 점이 전혀 없어보이는데, 자세히 살펴보면 정리에서 은근슬쩍 [4]가 빠져있는 것을 알 수 있다. 그 성질은 다음과 같다.

[4]에서 ‘연결’을 ‘경로연결’로 바꿨을 때 성립하지 않는 반례로는 위상수학자의 사인 곡선이 있다.


  1. Munkres. (2000). Topology(2nd Edition): p160. ↩︎

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