가측 공간의 파티션과 리파인먼트

가측 공간의 파티션과 리파인먼트

Partition and refinement

정의

가측 공간 $( \Omega , \mathcal{F} )$ 가 주어져 있다고 하자.

$( \Omega , \mathcal{F} )$ 에 대해 $\displaystyle \bigsqcup_{i=1}^{k} A_{i} = \Omega$ 를 만족하는 $$\mathcal{P} : = \left\{ A_{i} \in \mathcal{F} : i_{1} \ne i_{2} \implies A_{i_{1}} \cap A_{i_{2}} = \emptyset \right\}_{i=1}^{k}$$ 를 가측 공간 $\Omega$ 의 유한 (가측) 파티션이라 한다. 모든 $A_{i} \in \mathcal{P}$ 에 대해 $\displaystyle A_{i} = \bigsqcup_{j \in J} B_{j}$ 를 만족시키는 $B_{j} \in \mathcal{P}’$ 들이 존재하면 $\mathcal{P}’$ 를 $\mathcal{P}$ 의 리파인먼트라 한다.


  • $\displaystyle \bigsqcup$ 은 서로소인 집합들의 합집합을 의미한다.

설명

리만 합을 정의할 때의 파티션과 본질적으로 다른 것은 없다. 리파인먼트란 쉽게 말해 더 잘게 쪼개진 파티션을 의미한다.

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