등비수열의 부분합들도 등비수열임을 증명

등비수열의 부분합들도 등비수열임을 증명

Partial sum of geometric sequence is geometric sequence

정리

등비수열 $a_n = a r^{n-1}$과 그 부분합 $\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ 그리고 어떤 자연수 $m$ 에 대해 $A_n = S_{mn} - S_{m(n-1)}$ 은 등비수열이다.

설명

모르면 정말 고생한다.

예를 들어, 2의 거듭제곱을 세개씩 끊어 더한 수열을 생각해보면$(1 + 2+ 4)= 7 $, $(8 + 16 + 32)=56$, $(64+128+256)=448 \cdots$ 는 초항이 7이고 공비가 8인 등비수열이다.

이러한 성질은 등차수열도 가지고 있다. 원리야 사실 단순하니까 한번 꼼꼼하게 읽고 그 다음부터는 팩트만 숙지하도록 하자.

증명

$$ A_n = S_{mn} - S_{m(n-1)} = ar^{mn-1} + ar^{mn-2} + \cdots + ar^{mn-m} $$ 각 항들을 $a r^{mn-m}$ 에 대해 묶어내고 식을 정리하면 $$ A_n = a r^{mn-m} ( r^{m-1} + r^{m-2} + \cdots + 1) = a { {r^{m} - 1} \over {r-1} } \left( r^m \right) ^{n-1} $$ 따라서, $A_n$은 초항이 $\displaystyle a { {r^{m} - 1} \over {r-1} }$ 이고 공비가 $r^{m}$ 인 등비수열이다. 이 초항과 공차가 무엇인지까지 알아둘 필요는 없다.

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