단순 곡면 위의 매개변수 곡선

단순 곡면 위의 매개변수 곡선

정의1

$\mathbf{x} : U \to \R^{3}$를 단순 곡면이라고 하자. $U$의 좌표를 $(u, v)$라고 하자. 임의의 점 $(u_{0}, v_{0})$에 대해서, 다음과 같은 곡선을 $v = v_{0}$에서의 $\mathbf{x}$의 $u-$매개변수 곡선$u-$parameter curve라 한다.

$$ u \mapsto \mathbf{x}(u, v_{0}) $$

다음과 같은 곡선을 $u = u_{0}$에서의 $\mathbf{x}$의 $v-$매개변수 곡선$v-$parameter curve라 한다.

$$ v \mapsto \mathbf{x}(u_{0}, v) $$

점 $(u_{0}, v_{0})$에서 두 매개변수 곡선의 속도 벡터 $\dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u} = \mathbf{x}_{u}=\mathbf{x}_{1}$, $\dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial v} = \mathbf{x}_{v}=\mathbf{x}_{2}$를 $(u_{0}, v_{0})$에서의 $\mathbf{x}$의 편속도벡터partial velocity vector라고 한다.

설명

정의에 의해 곡면 $\mathbf{x}$는 이러한 매개변수 곡선들의 패밀리에 의해 커버된다는 것을 알 수 있다.


  1. Barrett O’Neill, Elementary Differential Geometry (Revised 2nd Edition, 2006), p139-141 ↩︎

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