자기 쌍극자가 외부 자기장에 의해 받는 토크와 상자성

자기 쌍극자가 외부 자기장에 의해 받는 토크와 상자성

paramagnetism and torque experienced by magnetic dipole by magneticfield

설명1

전기 쌍극자가 외부 전기장에 의해 토크를 얻는 것처럼 자기 쌍극자도 그러하다. 아래 그림과 같이 일정한 외부 자기장 $\mathbf{B}=B\hat{\mathbf{z}}$하에 전류 고리가 있다고 하자. 작은 사각형의 전류고리를 겹쳐서 임의의 모양으로 생긴 전류고리를 근사할 수 있으므로 사각형의 전류 고리에 대해서만 생각하도록 하자.32.JPG 각 변이 받는 자기력은 로런츠 법칙으로 계산할 수 있다. 2번과 4번 변이 받는 두 힘의 크기는 당연히 같고, 두 힘의 방향은 오른손 법칙에 의해 서로 반대임을 알 수 있다. 따라서 2번, 4번 변이 받는 힘은 서로 상쇄된다.1번과 3번 변이 받는 두 힘의 경우 위 그림처럼 분해할 수 있다. 따라서 전류 고리가 회전함을 알 수 있고 토크를 계산할 수 있다.

$$ \mathbf{N}=\dfrac{1}{2}aF\sin \theta \hat{\mathbf{x}}+\dfrac{1}{2}aF\sin\theta \hat{\mathbf{x}}=aF\sin\theta \hat{\mathbf{x}} $$

자기력의 크기

$$ |\mathbf{F}|=\left| I \int (d\mathbf{l} \times \mathbf{B} ) \right| = IbB $$

따라서 토크는

$$ \mathbf{N}=IabB\sin\theta \hat{\mathbf{x}}=mB\sin\theta\hat{\mathbf{x}} \\ \implies \mathbf{N}=\mathbf{m}\times\mathbf{B} $$

$m=Iab$는 고리의 자기 쌍극자 모멘트의 크기다.

이는 고른 자기장 속에서 전류 고리에 작용하는 토크이며 자기장이 고르지 않을 땐 다르게 계산해야 한다. 위의 결과는 외부 전기장에 의해 생기는 전기 쌍극자의 토크 $\mathbf{N}=\mathbf{p} \times \mathbf{E}$의 꼴과 같다. 위의 토크에 의해 전류 고리는 $xy$평면과 평행해질 때 까지 회전하며 쌍극자 모멘트의 방향과 외부 자기장의 방향이 일치하게 된다. 상자성이 생긴 것이다.

모든 전자는 자기 쌍극자를 가지므로 상자성은 일반적인 현상이라 생각할 수 있지만 그렇지 않다. 파울리의 배타원리에 의해 원자 속의 전자는 스핀 방향이 반대인 두 전자끼리 쌍을 이룬다. 따라서 상자성은 전자의 수가 홀수인 원자나 분자에서 나타나며 짝을 이루지 못해 남은 전자에 의해 회전력을 받는다. 일정하지 않은 자기장 $\mathbf{B}$에 의해 자기 쌍극자 모멘트가 $\mathbf{m}$인 아주 작은 고리가 받는 힘은 다음과 같다.

$$ \mathbf{F}=\nabla (\mathbf{m} \cdot \mathbf{B}) $$

이 역시 전기장 속의 전기 쌍극자가 받는 힘 $\mathbf{F}=\nabla(\mathbf{p} \cdot \mathbf{E})$과 같은 꼴이다.


  1. David J. Griffiths, 기초전자기학(Introduction to Electrodynamics, 김진승 역) (4th Edition1 2014), p286-288 ↩︎

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