추상대수학에서의 p-군

추상대수학에서의 p-군

정의 1

유한군 $G$ 의 항등원이 $e$ 라고 할 때, $g \in G$ 가 $g^{n} = e$ 를 만족하는 가장 작은 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $|g| = n$ 이라 나타낸다. 모든 $g \in G$ 와 주어진 소수 $p$ 에 대해 $|g| = p^{m}$ 을 만족하는 정수 $m \ge 0$ 이 존재할 때, $G$ 를 $p$-군$p$-group이라고 한다.

설명

$|G| = p^{m}$ 이면 $p$-군이고, 다음과 같은 정리가 알려져있다.

정리

$X_{G} : = \left\{ x \in X \ | \ gx = x , g \in G \right\}$ 는 작용에 무관한 집합으로, $\displaystyle X_{G} = \bigcap_{ g \in G} X_{g}$ 과 같이 나타내자. 유한군 $G$ 가 $|G| = p^{m}$ 이고 $X$ 가 $G$-집합이면 $$ |X| \equiv |X_{G}| \pmod{p} $$

증명

$X$ 가 $r$ 개의 궤도를 가지고 있다고 하자. 각 궤도에서 뽑아온 원소를 $x_{1} , \cdots , x_{r}$ 이라고 하면 $$ \displaystyle |X| = \sum_{i=1}^{r} | G x_{i} | $$ $s = |X_{G}|$ 라고 하면 $0 \le s \le r$ 이고 $$ \displaystyle |X| = |X_{G}| + \sum_{i=s+1}^{r} | G x_{i} | $$

등방부분군의 성질: $X$ 가 $G$-집합이면 $|Gx| = ( G : G_{x})$ 이다. $G$ 가 유한군이면 $|Gx|$ 는 $|G|$ 의 약수다.

$|G| = p^{m}$ 이므로 그 약수인 $|Gx_{i}|$ 는 $p$ 의 거듭제곱으로 나타날 수밖에 없다. 따라서 어떤 $k \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $$ |X| = |X_{G}| + p k $$ 이고, 합동의 정의에 따라 다음이 성립한다. $$ |X| \equiv |X_{G}| \pmod{p} $$


  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p322. ↩︎

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