외측도

외측도

정의 1

$E \subset \mathbb{R}$, $\left\{ I_{n} \in \mathcal{I} \ | \ n \in \mathbb{N} \right\} $, $\left\{ E_{n} \in \mathscr{P} ( \mathbb{R} ) \ | \ n \in \mathbb{N} \right\}$ 에 대해 $$ \displaystyle Z_{E} : = \left\{ \left. \sum_{n=1}^{\infty} l (I_{n}) \ \right| \ E \subset \bigcup_{n=1}^{\infty} I_{n} \right\} $$ 라고 할 때 함수 $m^{ \ast } (E) : = \inf Z_{E}$ 를 외측도Outer Measure라 한다.

기초 성질

외측도는 아래의 성질들을 가진다.

설명

$Z_{E}$ 의 원소가 거리의 합이므로 $Z_{E}$ 은 아래로 유계고 $\inf Z_{E}$ 이 존재하는 것은 자명하다. 조건에서 $\displaystyle E \subset \bigcup_{n=1}^{\infty} I_{n}$ 을 만족시켜야하고 이들 중 가장 작은 $\inf$ 을 잡는다는 건 ‘밖’에서 범위를 좁혀오는 걸로 생각할 수 있다. 그래서 외측도는 (Lebesgue) Exterior Measrue라고도 불리며, 이러한 명명은 타당하다고 할 수 있을 것이다.

성질 [1]에서 짐작할 수 있듯 외측도는 ‘길이‘를 일반화하기 위해 고안된 개념이다. 당연히 기존에 우리가 직관적, 관습적으로 사용해왔던 길이를 커버할 수 있어야한다. 그런 의미에서 [2]~[5]와 같은 성질은 당연히 가져야하고, 그게 안 된다면 딱히 일반화라고 할 수도 없을 것이다.

그 중 [5]를 보면 놈의 삼각부등식과 닮은 구석이 있고, 항의 갯수가 가산적으로 늘어났다는 차이를 보인다. 상식적으로 길이처럼 모든 $i \ne j$ 에 대해 $E_{i} \cap E_{j} = \emptyset$ 일 때 $$ \displaystyle m^{ \ast } \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } (E_{n}) $$ 이 성립한다면, 즉 $\displaystyle m^{ \ast } \left( \bigsqcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } (E_{n})$ 이 성립하면 길이의 일반화는 성공했다고 볼 수 있을 것이다. (여기서 $\bigsqcup$ 은 서로소인 집합끼리의 합집합을 의미하는 기호다.)

외측도의 한계

문제는 이렇게 강한 조건을 주었음에도 불구하고 별 변태같은 반례가 존재해서 등식을 성립시키지 못했다는 것이다. 이 등호를 만족시키기 위해서 수학자들, 그 중에서도 르벡은 새로운 조건을 찾아 나서게 된다.

반례

모든 $i \ne j$ 에 대해 다음은 항상 성립하지 않는다. $$\displaystyle E_{i} \cap E_{j} = \emptyset \implies m^{ \ast } \left( \bigsqcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } (E_{n})$$

반증

$\displaystyle E_{i} \cap E_{j} = \emptyset \implies m^{ \ast } \left( \bigsqcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) \ne \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } (E_{n})$ 인 반례를 보이면 충분하다.


$x,y \in [0,1]$ 에 대해 $y-x \in \mathbb{Q}$ 면 $x \sim y$ 인 관계를 정의해보면 $\sim$ 이 동치관계임은 어렵지 않게 보일 수 있다. $\sim$ 은 동치류 $A_{\alpha}$ 를 결정하고, $[0,1]$ 는 비가산이므로 모든 $\alpha \in [0,1]$ 에 대해 $A_{\alpha}$ 가 존재하므로 $A_{\alpha}$ 는 비가산적으로 많다. 한편 $x \in A_{\alpha}$ 와 $q \in \mathbb{Q} \cap [0,1]$ 에 대해 $x - (x - q) = q \in \mathbb{Q}$ 이므로 각각의 $A_{\alpha}$ 는 가산집합이다.

이제 그 모든 $A_{\alpha}$ 마다 원소 하나씩을 뽑아서 모은 집합 $E$ 를 생각해보자. 이런 집합 $E$ 를 구성할 수 있다는 건 선택 공리에 의해 보장된다.

그러면 임의의 $q_{n} \in \mathbb{Q} \cap [0,1]$ 에 대해 $E_{n} := E + q_{n}$ 을 정의할 수 있다. 만약 $z \in E_{i} \cap E_{j}$ 이라고 가정하면 어떤 $a_{\alpha} , a_{\beta} \in E$ 에 대해 $$ a_{\alpha} + q_{i} = z = a_{\beta} + q_{j} \\ a_{\alpha} - a_{\beta} = q_{j} - q_{i} \in \mathbb{Q} $$ 이다. 이는 $a_{\alpha} - a_{\beta} \in \mathbb{Q}$ 라는 뜻이고, $a_{\alpha}$ 와 $a_{\beta}$ 가 어떤 $A_{\lambda}$ 에 동시에 속해있다는 뜻이 된다. 그러나 $E$ 는 각 $A_{\alpha}$ 마다 하나의 원소만을 뽑아왔으므로 모순이고, 따라서 $i \ne j$ 에 대해 $E_{i} \cap E_{j} = \emptyset$ 이어야 한다.

한편 $\displaystyle [0,1] \subset \bigsqcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \subset [-1,2]$ 이므로 [3] 단조성에 의해 $$ \displaystyle m^{ \ast } [0,1] \le m^{ \ast } \left( \bigsqcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) \le m^{ \ast } [-1, 2] $$ 이때 $\displaystyle m^{ \ast } \left( \bigsqcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } (E_{n})$ 이 성립한다고 가정하면 $$ \displaystyle 1 \le \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } ( E_{n} ) \le 3 $$

[4] 변환불변성에 의해 $m^{ \ast }(E_{n}) = m^{ \ast }(E + q_{n}) = m^{ \ast }(E)$ 이므로 $$ \displaystyle 1 \le \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } ( E_{n} ) = m^{ \ast } (E) + m^{ \ast } (E) + \cdots \le 3 $$ $\displaystyle 1 \le \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } ( E )$ 이려면 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } ( E ) = \infty$ 이어야하는데, $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } ( E ) \le 3$ 이려면 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } ( E ) = 0$ 이어야한다. 이 두 가지를 동시에 만족시키는 것은 불가능하므로 $$ \displaystyle m^{ \ast } \left( \bigsqcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) \ne \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } (E_{n}) $$

반례도 반례지만 이런 반례를 떠올리는 뇌가 이 세상에 있었다는 사실이 더 충격적이다. 이와 비슷하지 않고 독창적인 반례를 발견했다면 정신병원이나 대학원 둘 중 한 곳은 꼭 가보는 것을 권장한다.


  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p20. ↩︎

댓글