정규직교기저 완비 정규직교집합

정규직교기저 완비 정규직교집합

정리: 정규직교집합이 가지는 동치조건

$\left\{ \phi_n \right\}_1^\infty$가 $L^2(a,b)$정규직교집합 이고 $f \in L^2(a,b)$라고 하자. 그러면 아래의 조건은 모두 동치이다.

설명

위 정리의 $(a) - (c)$를 만족하는 정규직교집합을 정규직교기저 혹은 완비 정규직교집합이라 부른다.

위의 세 조건을 잘 살펴보면 정규직교기저는 유한차원의 벡터공간에서 기저와 같은 역할을 한다는 것을 알 수 있다.

보조정리

$f \in L^2(a,b)$이고 $\left\{ \phi_n \right\}$가 $L^2(a,b)$에서 정규직교집합이라고하자. 그러면 급수 $\sum \left\langle f,\phi_n \right\rangle\phi_n$은 놈 센스에서 수렴한다. 그리고 다음과 같은 부등식을 만족한다.

$$ \left\| \sum \left\langle f,\phi_n\right\rangle \phi_n \right\| \le | f| $$

증명

세번째 등식은 가정에 의해 급수가 놈 센스에서 수렴하므로 성립한다. 네번째 등식은 피타고라스 정리에 의해 성립한다.

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