정규직교기저 완비 정규직교집합

정규직교기저 완비 정규직교집합

orthonormal basis complete orthonormal set

정리: 정규직교집합이 가지는 동치조건

$\left\{ \phi_n \right\}_1^\infty$가 $L^2(a,b)$정규직교집합 이고 $f \in L^2(a,b)$라고 하자. 그러면 아래의 조건은 모두 동치이다.

  • $(a)$ 모든 $n$에 대해서 $\left\langle f, \phi_n \right\rangle=0$이면, $f=0$이다.

  • $(b)$ 모든 $f\in L^2(a,b)$에 대해서, 급수 $\sum_1^\infty \left\langle f,\phi_n\right\rangle\phi_n$이 $f$로 놈 센스에서 수렴 한다. 다시 말해 아래의 식이 성립한다.

    $$ f=\sum_1^\infty \left\langle f,\phi_n\right\rangle\phi_n $$

  • $(c)$ 모든 $f \in L^2(a,b)$에 대해서 **파세발 방정식Parseval’s equation이라 불리는 아래와 같은 식을 만족한다.

    $$ \| f \|^2 = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \left| \left\langle f,\phi_n \right\rangle \right|^{2} $$

설명

위 정리의 $(a) - (c)$를 만족하는 정규직교집합을 정규직교기저 혹은 완비 정규직교집합이라 부른다.

위의 세 조건을 잘 살펴보면 정규직교기저는 유한차원의 벡터공간에서 기저와 같은 역할을 한다는 것을 알 수 있다.

  • $\left\{ \phi_n \right\}$이 정규직교기저일 때 상수 $\left\langle f, \phi_n\right\rangle$들을 (일반화된)푸리에 계수 라고 한다.

  • 급수 $\sum \left\langle f, \phi_n\right\rangle\phi_n$을 (일반화된)푸리에 급수 라고 한다.

보조정리

$f \in L^2(a,b)$이고 $\left\{ \phi_n \right\}$가 $L^2(a,b)$에서 정규직교집합이라고하자. 그러면 급수 $\sum \left\langle f,\phi_n \right\rangle\phi_n$은 놈 센스에서 수렴한다. 그리고 다음과 같은 부등식을 만족한다.

$$ \left\| \sum \left\langle f,\phi_n\right\rangle \phi_n \right\| \le | f| $$

증명

  • $(a) \implies (b)$

    $(a)$를 가정하자. 그러면 보조정리에 의해서 $\sum \left\langle f, \phi_n \right\rangle\phi_n$이 놈 센스에서 수렴한다. $f$와 급수의 차이를 $g$라고 정의하자.

    $$ g=f-\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left\langle f, \phi_n \right\rangle\phi_n $$

    그러면 $g=0$임을 보일 수 있다.

    $$ \begin{align*} \left\langle g,\phi_m \right\rangle &=\ \left\langle f,\phi_m\right\rangle - \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left\langle f,\phi_n \right\rangle \left\langle \phi_n, \phi_m \right\rangle \\ &=\ \left\langle f,\phi_m\right\rangle - \left\langle f,\phi_m\right\rangle \\ &=\ 0 \end{align*} $$

    따라서 가정에 의해 $g=0$이다. 그러므로 $f= \sum_{n=1}^\infty \left\langle f, \phi_n \right\rangle\phi_n$

  • $(b) \implies (c)$

    $(b)$를 가정하자. 그러면 $f=\sum_1^\infty \left\langle f, \phi_n\right\rangle\phi_n$이므로

    $$ \begin{align*} \| f \|^2 &=\ \left\| \sum \limits_{n=1}^{\infty} \left\langle f, \phi_n \right\rangle \phi_n \right\| ^2 \\ &= \left\| \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \sum \limits_{n=1} ^{N} \left\langle f, \phi_n \right\rangle\phi_n \right\| ^2 \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \left\| \sum \limits_{n=1} ^{N} \left\langle f, \phi_n \right\rangle\phi_n \right\| ^ 2 \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \sum _{n=1}^{N} | \left\langle f,\phi_n \right\rangle |^2 \\ &= \sum \limits _{n=1} ^{\infty} | \left\langle f, \phi_n \right\rangle |^2 \end{align*} $$

세번째 등식은 가정에 의해 급수가 놈 센스에서 수렴하므로 성립한다. 네번째 등식은 피타고라스 정리에 의해 성립한다.

  • $(c) \implies (a)$

    $(c)$를 가정하자. 그러면

    $$ \| f \|^2 =\sum \limits _{n=1} ^{\infty}\left| \left\langle f,\phi_n \right\rangle \right|^{2} $$

    따라서 모든 $n$에 대해서 $\left\langle f, \phi_n \right\rangle=0$이면, $f=0$이다.

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