르장드르 다항식은 자신보다 차수가 낮은 임의의 다항식과 직교함을 증명

르장드르 다항식은 자신보다 차수가 낮은 임의의 다항식과 직교함을 증명


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$P_l(x)$을 르장드르 다항식 , $f(x)$를 차수가 $l$보다 낮은 임의의 다항식이라 할 때 $P_l(x)$와 $f(x)$는 서로 직교 한다. $$ \int_{-1}^{1}P_l(x)f(x)dx $$

**보조정리 $f(x)$를 임의의 $n$차 다항식이라 하자.$f(x)$는 $l \le n$인 르장드르 다항식$(\mathrm{Legendre\ polynomial})$의 선형결합으로 나타낼 수 있다.$P_l(x)$는 $l$차 다항식이다.따라서 $P_n(x)$의 최고차항과 임의의 상수의 곱으로 $f(x)$의 $n$차항을 표현할 수 있다.그리고 $P_n(x)$의 $x^{n-1}$차항과 임의의 상수의 곱과 $P_n(x)$의 최고차항과 임의의 상수의 곱을 더하여 $f(x)$의 $n-1$차항을 표현할 수 있다.같은 방식으로 차수를 내려가면서 상수항까지 표현가능하다.따라서 $f(x)$를 르장드르 다항식의 선형결합으로 나타낼 수 있음을 알 수 있다.

증명

$$ \int_{-1}^{1}P_l(x)f(x) dx $$ $f(x)$를 임의의 $n$차 다항식이라 하자.이때 $n <l$이다.보조정리에 의해 $f(x)$를 르장드르 다항식의 선형결합으로 나타내면$\displaystyle \int_{-1}^{1} P_l(x)\big[ a_nP_n(x)+a_{n-1}P_{n-1}(x) + \cdots +a_0P_0(x) \big] dx $$ = a_n\int _{-1}^{1}P_l(x)P_n(x)dx +a_{n-1}\int _{-1}^{1}P_l(x)P_{n-1}(x) dx +\cdots+a_0\int _{-1}^{1}P_l(x)P_0(x)dx $$ l \ne n,\ n-1,\ \cdots 0$이고 르장드르 다항식의 직교성 에 의해 모든 항이 $0$이다.따라서 $\int_{-1}^{1}P_l(x)f(x) dx=0$

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