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연관 르장드르 다항식의 직교성

orthogonality of associated legendre polynomials

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구간 $[-1,1]$에서 고정된 $m$에 대한 연관 르장드르 다항식은 직교 집합을 이룬다. $$ \int_{-1}^{1} P_{l}^{m}(x)P_{k}^{m}(x)dx =\frac{ 2}{ 2l+1 }\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\delta_{lk} $$ $x=\cos \theta$일 경우에는 $$ \int_{0}^{\pi} P_{l}^{m}(\cos \theta)P_ {k}^{m}(\cos\theta)\sin \theta d\theta =\frac{ 2}{ 2l+1 }\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\delta_{lk} $$

연관 르장드르 다항식 $$ P_{l}^{m}(x) = (1-x ^{2})^{\frac{m}{2}} \dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^2-1)^l $$

로드리게스 공식 $$ P_l(x)=\dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l $$

증명

우선 편의를 위해 $P_{l}^{m}(x)=P_{lm}$으로 간단히 표기한다. 연관 르장드르 다항식은 아래와 같다. $$ \frac{ d }{ dx } \left[ (1-x^{2})P_{lm}^{\prime} \right] +\left[ l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}} \right]P_{lm}=0 \tag{1} $$

Case 1. $l \ne k$** 증명 방식은 르장드르 다항식의 직교성을 보이는 것과 같다. $(1)$을 $l$, $k$에 대해서 쓰면 $$ \frac{ d }{ dx } \left[ (1-x^{2})P_{lm}^{\prime} \right] +\left[ l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}} \right]P_{lm}=0 \\ \frac{ d }{ dx } \left[ (1-x^{2})P_{km}^{\prime} \right] +\left[ k(k+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}} \right]P_{km}=0 $$ $l$에 대한 식에 $P_{km}$을 곱하고, $k$에 대한 식에 $P_{lm}$을 곱한 뒤 서로 빼주면 $$ P_{km} \frac{ d }{ dx } \left[ (1-x^{2})P_{lm}^{\prime} \right]-P_{lm}\frac{ d }{ dx } \left[ (1-x^{2})P_{km}^{\prime} \right]+\left[l(l+1)- k(k+1) \right]P_{lm}P_{km}=0 \tag{2} $$ 첫째항, 둘째항을 정리해주면 $$ \begin{align*} &P_{km} \frac{ d }{ dx } \left[ (1-x^{2})P_{lm}^{\prime} \right]-P_{lm}\frac{ d }{ dx } \left[ (1-x^{2})P_{km}^{\prime} \right] \\ =&\ P_{km}(1-x^{2})^{\prime}P_{lm}^{\prime}+P_{km}(1-x^{2})P_{lm}^{\prime \prime}-P_{lm}(1-x^{2})^{\prime}P_{km}^{\prime}-P_{lm}(1-x^{2})P_{km}^{\prime \prime} \\ =&\ \color{blue}{P_{km}(1-x^{2})^{\prime}P_{lm}^{\prime}+P_{km}(1-x^{2})P_{lm}^{\prime \prime}}-\color{green}{P_{lm}(1-x^{2})^{\prime}P_{km}^{\prime}-P_{lm}(1-x^{2})P_{km}^{\prime \prime} } \\ & +\color{blue}{P_{km}^{\prime}(1-x^{2})P_{lm}^{\prime}}-\color{green}{P_{km}^{\prime}(1-x^{2})P_{lm}^{\prime}} \\ = & \frac{ d }{ d x }\left[\color{blue}{(1-x^{2})P_{lm}^{\prime}P_{km}}-\color{green}{(1-x^{2})P_{lm}P_{km}^{\prime} } \right] \\ =&\ \frac{ d }{ d x }\left[(1-x^{2})(P_{lm}^{\prime}P_{km}-P_{lm}P_{km}^{\prime}) \right] \end{align*} $$ 이제 $(2)$를 다시 적으면 $$ \frac{ d }{ d x }\left[(1-x^{2})(P_{lm}^{\prime}P_{km}-P_{lm}P_{km}^{\prime}) \right]+\left[l(l+1)- k(k+1) \right]P_{lm}P_{km}=0 $$ 양변을 구간 $[-1,1]$에서 적분하면 $$ \left[(1-x^{2})(P_{lm}^{\prime}P_{km}-P_{lm}P_{km}^{\prime}) \right]_{-1}^{1}+\left[l(l+1)- k(k+1) \right]\int_{-1}^{1}P_{lm}P_{km}dx=0 $$ 첫번째 항은 $0$이므로 $$ \left[l(l+1)- k(k+1) \right]\int_{-1}^{1}P_{lm}P_{km}dx=0 $$ 이때 $l \ne k$이므로 $l(l+1)-k(k+1)\ne 0$이다. 따라서 $$ \int_{-1}^{1}P_{l}^{m}(x)P_{k}^{m}(x)dx=0 $$

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Case 2. $l=k$** 이 경우에는 $$ \int_{-1}^{1}P_{l}^{m}(x)P_{k}^{m}(x)dx=\int_{-1}^{1}[P_{l}^{m}(x)]^{2}dx $$ 이다. 그리고 아래의 식이 성립함을 알고 있다.¹ $$ \frac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^{2}-1)^{l}=\frac{(l+m)!}{(l-m)!}(x^{2}-1)^{-m}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \tag {3} $$ 그러면 연관 르장드르 다항식은 $$ \begin{align*} P_{l}^{m}(x) &=(1-x ^{2})^{\frac{m}{2}} \dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^2-1)^l \\ &=(1-x ^{2})^{\frac{m}{2}}\dfrac{1}{2^l l!} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}(x^{2}-1)^{-m}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \\ &= \dfrac{(-1)^{m}}{2^l l!} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}(1-x^{2})^{-\frac{m}{2}}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \end{align*} $$ 이고 위 식의 양변을 제곱하면 $$ [P_{l}^{m}(x)]^{2} =\dfrac{1}{2^{2l}(l!)^{2}} \left[ \frac{(l+m)!}{(l-m)!} \right]^{2}(1-x^{2})^{-m}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} $$ 이다. 위 식에 다시 $(3)$을 대입하면 $$ \begin{align*} &[P_{l}^{m}(x)]^{2} \\ =&\ \dfrac{1}{2^{2l}(l!)^{2}} \left[ \frac{(l+m)!}{(l-m)!} \right]^{2}(1-x^{2})^{-m}\left[ \frac{(l-m)!}{(l+m)!}(x^{2}-1)^{m}\frac{ d ^{l+m}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l} \right]\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \\ =&\ \dfrac{(-1)^{m}}{2^{2l}(l!)^{2}} \frac{(l+m)!}{(l-m)!} \frac{ d ^{l+m}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \end{align*} $$ 이다. 이제 양변을 구간 $[-1,1]$에서 적분하면 아래와 같다. $$ \begin{align*} &\int_{-1}^{1}[P_{l}^{m}(x)]^{2}dx \\ =&\ \dfrac{(-1)^{m}}{2^{2l}(l!)^{2}} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\int_{-1}^{1} \left[ \frac{ d ^{l+m}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \right]dx \tag{4} \end{align*} $$ 우변의 적분 부분만 살펴보자. 부분적분으로 풀어내면 $$ \begin{align*} &\int_{-1}^{1} \left[ \frac{ d ^{l+m}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \right]dx \\ =&\ \int_{-1}^{1} \left[ \frac{ d ^{l+m-1}}{ dx^{l+m-1} }(x^{2}-1)^{l}\right]^{\prime}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} dx \\ =&\ \left[ \frac{ d ^{l+m-1}}{ dx^{l+m-1} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l}\right]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1}\frac{ d ^{l+m-1}}{ dx^{l+m-1} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m+1}}{ dx^{l-m+1} }(x^{2}-1)^{l}dx \end{align*} $$ 여기서 첫째항은 $0$이다. $(x^{2}-1)^{l}$은 $2l$차 다항식이고 $|m|<l$이므로 $l+m-1$과 $l-m$모두 $l$보다 작아서 최소한 $(x^{2}-1)$가 미분되지 않고 남아있기 때문이다. 여기에 $\pm 1$을 대입하면 $0$이다. 남은 항을 다시 부분 적분으로 풀업보면 $$ \begin{align*} &-\int_{-1}^{1}\frac{ d ^{l+m-1}}{ dx^{l+m-1} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m+1}}{ dx^{l-m+1} }(x^{2}-1)^{l}dx \\ =&\ \left[- \frac{ d ^{l+m-2}}{ dx^{l+m-2} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m+1}}{ dx^{l-m+1} }(x^{2}-1)^{l} \right]+\int_{-1}^{1} \frac{ d ^{l+m-2}}{ dx^{l+m-2} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m+2}}{ dx^{l-m+2} }(x^{2}-1)^{l}dx \end{align*} $$ 여기서 첫번째 항은 위와 같은 이유로 $0$이다. 이런 식으로 부분 적분을 $m$번 반복하면 $$ \int_{-1}^{1} \frac{ d ^{l+m}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} dx=(-1)^{m}\int_{-1}^{1}\frac{ d ^{l}}{ dx^{l} }(x^{2}-1)^{l}\frac{d^{l}}{dx^{l}}(x^{2}-1)^{l}dx $$ 따라서 $(4)$는 아래와 같다. $$ \int_{-1}^{1}[P_{l}^{m}(x)]^{2}dx= \dfrac{1}{2^{2l}(l!)^{2}} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\int_{-1}^{1}\left[ \frac{ d ^{l}}{ dx^{l} }(x^{2}-1)^{l}\right]^{2}dx $$ 그러면 로드리게스 공식에 의해 $$ \begin{align*} \int_{-1}^{1}[P_{l}^{m}(x)]^{2}dx &= \dfrac{1}{2^{2l}(l!)^{2}} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}2^{2l}(l!)^{2}\int_{-1}^{1}\left[ P_{l}(x)\right]^{2}dx \\ &= \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\int_{-1}^{1}\left[ P_{l}(x)\right]^{2}dx \end{align*} $$ 그리고 르장드르 다항식의 직교성에 의해 $$ \int_{-1}^{1}[P_{l}^{m}(x)]^{2}dx = \frac{2}{2l+1}\frac{(l+m)!}{(l-m)!} $$

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Case 1** 과** Case 2** 를 종합하면 $$ \int_{-1}^{1}P_{l}^{m}(x)P_{k}^{m}(x)dx = \frac{2}{2l+1}\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\delta_{lk} $$

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