내적 공간에서 직교성, 직교 집합, 정규 직교 집합

내적 공간에서 직교성, 직교 집합, 정규 직교 집합

Orthogonality and Orthonormal System in Inner Product Space

정의1

$\left( X, \left\langle \cdot, \cdot \right\rangle \right)$를 내적 공간이라고 하자. 두 원소 $\mathbf{x}, \mathbf{y}\in X$가 $\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \right\rangle =0$을 만족하면 $\mathbf{y}$와 $\mathbf{x}$는 서로 직교orthogonal한다고 하고 다음과 같이 표기한다.

$$ \mathbf{x} \perp \mathbf{y} $$

$X$의 원소들의 집합 $\left\{ \mathbf{x}_{k} \right\}_{k\in \mathbb{N}}$이 다음의 식을 만족하면 직교 시스템orthogonal system , 혹은 직교 집합orthogonal set이라 한다.

$$ \left\langle \mathbf{x}_{k}, \mathbf{x}_{\ell} \right\rangle =0\quad \forall k\ne \ell $$

직교 시스템 $\left\{ \mathbf{x}_{k} \right\}_{k\in \mathbb{N}}$이 다음의 식을 만족하면 정규직교 시스템orthonormal system , 혹은 정규직교 집합orthonormal set 이라 한다.

$$ \left\| \mathbf{x}_{k} \right\| =1\quad \forall k\in \mathbb{N} $$

설명

내적 공간에서 $\left\| \cdot \right\|:=\sqrt{\left\langle \cdot,\cdot \right\rangle }$와 같이 정의되므로 정규직교 시스템의 정의를 다시 적으면 다음과 같다.

$$ \left\| \mathbf{x}_{k} \right\| = \left\langle \mathbf{x}_{k},\mathbf{x}_{\ell} \right\rangle = \begin{cases} 1 & \text{if}\ k=\ell \\ 0 & \text{if}\ k\ne \ell \end{cases} $$

또한 직교 시스템이 굳이 가산 집합에 대해서 정의되어야할 필요는 없다.

정의2

$A$를 임의의 인덱스 집합, $\alpha$, $\beta$를 $A$의 인덱스라고 하자. $X$의 원소들의 집합 $\left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\}_{\alpha \in A}$가 다음의 식을 만족하면 직교 시스템, 혹은 직교 집합 이라 한다.

$$ \left\langle \mathbf{x}_{\alpha}, \mathbf{x}_{\beta} \right\rangle =0\quad \forall \alpha \ne \beta $$

직교 시스템 $\left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\}_{\alpha \in A}$가 다음의 식을 만족하면 정규직교 시스템 혹은 정규직교 집합 이라 한다.

$$ \left\| \mathbf{x}_{\alpha} \right\| =1\quad \forall \alpha \in A $$

설명

따라서 정규직교 시스템 $\left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\}_{\alpha \in A}$에 대해서 다음의 식을 얻는다.

$$ \left\langle \mathbf{x}_{\alpha},\mathbf{x}_{\beta} \right\rangle =\begin{cases} 1 & \text{if}\ \alpha=\beta \\ 0 & \text{if}\ \alpha \ne \beta \end{cases} $$


  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p66-67 ↩︎

  2. Walter Rudin, Real and Complex Analysis (3rd Edition, 1987), p82-83 ↩︎

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