선형대수학에서 정사영이란

선형대수학에서 정사영이란

정의

사영 $P \in \mathbb{C}^{m \times m}$ 가 $\mathcal{C} (P) ^{\perp} = \mathcal{N} (P)$ 를 만족하면 $P$ 를 정사영이라 한다.

설명

사영의 성질 $\mathbb{C}^{m } = \mathcal{C} (P) \oplus \mathcal{N} (P)$ 에 따라 $P$ 는 $\mathbb{C}^{m}$ 을 정확히 두 개의 부분공간 $\mathcal{C} (P)$ 과 $\mathcal{N} (P)$ 으로 분할함을 알 수 있다.

이 분할에서 조건 $\mathcal{N} (P) = \mathcal{C} (P) ^{\perp}$ 을 만족한다는 것은 일차변환 $P$ 의 영공간 $\mathcal{N} (P)$ 가 열공간 $\mathcal{C} (P)$ 의 직교여공간이라는 뜻이므로 그냥 분할이 아니라 수직성이 포함되는 분할임을 알 수 있고, 그런 센스에서 정사영의 정의는 상당히 타당하다고 할 수 있겠다.

한편 일차변환 $P$ 가 정사영이 되기 위한 필요충분조건은 $P$ 가 에르미트 행렬인 것이다.

그 증명은 생각보다 어렵고 지저분하므로 공부할 때는 팩트로써만 알아둘 것을 권장한다.

정리

$$ \mathcal{C} (P) ^{\perp} = \mathcal{N} (P) \iff P = P^{\ast} $$

증명

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