직교함수 직교집합 정규직교집합 함수의 놈

직교함수 직교집합 정규직교집합 함수의 놈


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**내적$(\mathrm{inner\ product})$ 구간 $[a,b]$에서 정의된 두 복소 함수 $f$, $g$의 내적을 다음과 같이 정의한다. $$ \left\langlef, g\right\rangle:=\int_a^b f(x) \overline{g(x)} dx $$ 따라서 같은 두 함수끼리의 내적은 $$ \left\langle f,f \right\rangle=\int_a^b f(x) \overline{f(x)} dx = \int_a^b \left| f(x) \right| ^2 dx $$ 함수의 내적을 정적분으로 정의하는 이유

직교 $(\mathrm{orthogonal})$ 두 복소 함수 $f$, $g$가 아래의 식을 만족하면 ‘$f$, $g$는 구간 $[a,b]$에서 직교한다’** 고 한다. $$ \left\langle f,g \right\rangle=\int_a^b f(x) \overline{g(x)} dx=0 $$ 위에서 두 함수의 내적을 적분으로 정의했으니 적분값이 $0$이 될 때 직교한다고 말하는 것은 자연스럽다.

직교집합과 직교성 **$(\mathrm{orthogonal\ set\ and\ orthogonality})$ 함수 $\phi_1$, $\phi_2$, $\phi_3$, $\cdots$가 다음의 식을 만족하면 이 함수들의 집합 $\left\{\phi_1,\ \phi_2,\ \phi_3, \cdots \right\}$을 직교집합 이라 하고 이 함수들의 집합이 직교성 을 가진다고 한다. $$ \left\langle \phi_m,\phi_n \right\rangle = \int_a^b \phi_m (x) \overline{ \phi_n(x) } dx=0\ \ (m\ne n) $$ 간단히 말해서 직교집합이란 다른 함수들과 직교하는 함수들을 모아놓은 집합이다.

**함수의 $(\mathrm{norm})$ 내적을 정의하면 놈을 정의할 수 있다. 복소 함수 $f$의 놈을 아래와 같이 정의한다. $$ | f | = \left\langle f,f\right\rangle^{ \frac{1}{2} } := \left( \int_a^b \left| f(x) \right| ^2 dx \right) ^{ \frac{1}{2} } $$

**정규화$(\mathrm{normalization})$ 임의의 함수 $f$에 대해서 적절한 상수를 곱하여 $f$의 놈이 $1$이 되도록 하는 것을 정규화라고 한다. 정규화를 거친 함수를 **정규화된$(\mathrm{normalized})$ 함수 ** 혹은 정규화 함수라고 한다. 따라서 $f$의 정규화 함수를 $f_{\mathrm{normal}}$이라고 하면 $$ f_{\mathrm{normal}}=\frac{1}{ | f | }f $$

**정규직교집합$(\mathrm{orthonomal\ set})$ 직교집합 $\left\{ \phi_{1}, \phi_{2}, \cdots \right\}$의 원소들이 아래의 조건을 만족하면 그 집합을 정규직교집합 이라 한다. $$ \left\langle \phi_m,\phi_n \right\rangle = \int_a^b \phi_m (x) \overline{ \phi_n(x) } dx=\delta_{mn} $$ 즉 정규직교집합은 모든 원소가 정규화된 직교집합을 말한다. $\delta_{mn}$은 크로네커 델타 이다. 직교집합에서 자기 자신과의 내적이 1이라는 조건이 추가됐다. 예를 들어 3차원 직교 좌표계에서 $\left\{ \hat{\mathbf{x}},\ \hat{\mathbf{y}},\ \hat{\mathbf{z}} \right\}$는 정규직교집합이다.

**예제 $f_0(x)=1$, $f_1(x)=x$, $f_2(x)=x^2+ax+b$라고 하자.

  1. ** $f_0$과 $f_1$이 $[-1,1]$에서 직교함을 보여라풀이 $$ \begin{align*} \left\langle f_0,f_1 \right\rangle &= \int_{-1}^{1} x dx \\ &= \left. \dfrac{1}{2}x^2 \right]_{-1}^{1} = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0 \end{align*} $$

    **2.** $f_2$가 $f_0$, $f_1$과 동시에 직교하도록 하는 상수 $a$, $b$를 구하여라.**풀이** $$ \begin{align*} \left\langle f_2,f_0 \right\rangle &= \int_{-1}^{1} (x^2+ax+b) dx \\ &= \left. \frac{1}{3}x^3 +\frac{a}{2}x^2+bx \right]_{-1}^{1} \\ &= \left( \frac{1}{3}+\frac{a}{2}+b\right) - \left( -\frac{1}{3}+\frac{a}{2}-b \right) \\ &= \frac{2}{3}+2b =0 \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \left\langle f_2,f_1 \right\rangle &= \int_{-1}^{1}( x^3+ax^2+bx) dx \\ &= \left. \frac{1}{4}x^4 +\frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2 \right]_{-1}^{1} \\ &= \left( \frac{1}{4}+\frac{a}{3}+\frac{b}{2}\right) - \left( \frac{1}{4}-\frac{a}{3}+\frac{b}{2} \right) \\ &= \frac{2}{3}a=0 \end{align*} $$ 따라서 $a=0$, $b=-\dfrac{1}{3}$

  1. ** $f_0$, $f_1$, $f_2$의 정규화 함수를 구하여라.풀이 $$ \left\langlef_0,f_0 \right\rangle=\int_{-1}^{1} 1 dx =2 $$

$$ \left\langlef_1,f_1 \right\rangle=\int_{-1}^{1} x^2 dx =\frac{2}{3} $$

$$ \left\langlef_2,f_2 \right\rangle=\int_{-1}^{1} \left( x^2-\frac{1}{3} \right )\left( x^2-\frac{1}{3} \right) dx =\frac{8}{45} $$ 따라서 $f_0$, $f_1$, $f_2$의 정규화 함수는 각각 $$ \frac{1}{\sqrt{2}}f_0,\quad \sqrt{\frac{3}{2}}f_1,\quad \sqrt{\frac{45}{8}}f_2 $$

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