부분공간의 직교여공간

부분공간의 직교여공간

정의1

벡터공간 $V$ 의 부분공간 $W$ 에 대해서 집합

$$ W^{\perp} = \left\{ \mathbf{v} \in V \ : \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w} \right\rangle = 0,\quad \forall \mathbf{w} \in W \right\} $$

를 $W$ 의 직교여공간orthogonal complement이라한다. 이때 $\langle , \rangle$ 는 내적이다.

설명

다시말해 $W^{\perp}$은 $W$ 의 모든 원소와 수직인 벡터를 모아놓은 집합이다. 기호 $^{\perp}$ 는 perpendicular를 줄여서 perp[펍]으로 읽는다. 단어 그대로의 정의기 때문에 특히 유클리드 공간에선 쉽게 받아들일 수 있는 정의다. 간단한 예시로 $\mathbb{R}^{3}$ 에서 $W = \text{span} \left\{ (1,0,0) , (0,1,0) \right\}$ 이라고 하면 $W^{\perp} = \text{span} \left\{ (0,0,1) \right\}$ 가 된다.

정리2

$W$가 내적공간 $V$ 의 부분공간이면 다음이 성립한다.

(a) $W^{\perp}$ 는 $V$ 의 부분공간이다.

(b) $W \cap W^{\perp} = \left\{ \mathbf{0} \right\}$

증명

(a)

모든 $\mathbf{w} \in W$ 에 대해서 $\langle \mathbf{w}, \mathbf{0} \rangle = 0$이므로 적어도 $\mathbf{0}$ 는 $W^{\perp}$ 에 포함된다. 그러면 공집합이 아니므로 덧셈과 상수배에 대해서 닫혀있는지만 보면 된다. $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W^{\perp}$ $k\in R$이라고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} \langle \mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle =& \langle \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle + \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = 0 + 0 = 0 \\ \langle k \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle =& k \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = k \cdot 0 = 0 \end{align*} $$ 따라서 $W^{\perp}$ 는 부분공간이다.

(b)

$\mathbf{v} \in W \cap W^{\perp}$라고 하자. 그러면 $\mathbf{v}$ 는 $\mathbf{v}$와 수직이라는 의미이므로

$$ \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = 0 $$

이고 이를 만족하는 $\mathbf{v}$ 는 내적의 정의에 의해 $\mathbf{0}$ 뿐이다.

성질

$W$와 $R$ 을 $\mathbb{R}^{n}$ 의 부분공간, $A \in M_{ m \times n}(\mathbb{R})$ 이라고 하자. 그러면 다음의 성질들을 만족한다.

[2] $ W \oplus W^{\perp} = \mathbb{R}^{n} $

[3] $R \subset W \iff W^{\perp} \subset R^{\perp}$

[4] $\mathcal{N} (A)^{\perp} = \mathcal{C} (A^{T})$

[5] $\mathcal{C} (A)^{\perp} = \mathcal{N} (A^{T})$

[6] $\mathbb{R}^m = \mathcal{C} (A) \oplus \mathcal{N} (A^{T})$

[7] $\mathbb{R}^n = \mathcal{C} (A^{T}) \oplus \mathcal{N} (A) $


이러한 성질들 역시 직교여공간의 정의를 생각해보면 당연하다고 할 수 있다. 단 **[2]**는 체크해야할 것이 많아서 조금 까다롭다. 이러한 성질들과 함께 중요한 것이 바로 영공간과 열공간을 함께 고려할 때의 성질들이다.

위의 성질들은 언뜻 복잡해 보이지만 다행스럽게도 $\perp$ 가 $T$ 의 뒤집힌 모양으로 보면 외우는 게 어렵지는 않다. 안밖으로 넘나들면서 $\mathcal{N}$ 과 $C$ 를 반전시킨다고 보면 전혀 헷갈릴 것이 없다.

한편 계수-퇴화차수 정리는 **[6], [7]**의 결과에 $\dim$ 을 취한 것으로 볼 수도 있을 것이다.

증명

전략: 정의를 이용해서 직접 연역한다. 증명 [5]는 본질적으로 증명 [4]와 같다.

[4]

$\mathbf{x} \in \mathcal{N} (A)$ 라고 하면 영공간의 정의에 의해 다음과 같다.

$$ A \mathbf{x} = \mathbf{0} $$

양변에 $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}$를 내적하면 다음과 같다.

$$ \mathbf{y}^{T} ( A \mathbf{x} ) = \mathbf{0} $$

행렬곱의 결합법칙에 의해 $( \mathbf{y}^{T} A ) \mathbf{x} = \mathbf{0}$이고, 전치행렬의 성질에 의해 $( A^{T} \mathbf{y} ) ^{T} \mathbf{x} = \mathbf{0}$이므로, 직교의 정의에 의해 다음과 같다.

$$ A^{T} \mathbf{y} \perp \mathbf{x} $$

그러면 직교여공간의 정의에 의해 다음과 같다.

$$ \mathbf{x} \in \mathcal{C} (A^{T})^{\perp} $$

위 내용을 정리하면 $\mathbf{x} \in \mathcal{N} (A)\implies \mathbf{x} \in \mathcal{C} (A^{T})^{\perp}$ 이므로 다음의 결과를 얻는다.

$$ \mathcal{N} (A) \subset \mathcal{C} (A^{T})^{\perp} $$

위의 과정을 역방향으로 반복하면 $\mathcal{N} (A) \supset \mathcal{C} (A^{T})^{\perp}$ 을 얻을 수 있으므로 다음의 결과를 얻는다.

$$ \mathcal{N} (A) = \mathcal{C} (A^{T})^{\perp} $$

양변에 $^{\perp}$를 취하면 [1]에 의해서 다음과 같다.

$$ \mathcal{N} (A)^{\perp} = \mathcal{C} (A^{T}) $$


  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version(12th Edition). 2019, p356 ↩︎

  2. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version(12th Edition). 2019, p357 ↩︎

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