가향곡면 📂기하학

가향곡면

Orientable Surface

정의1

곡면 $M$의 점 $p$를 $p$에서의 노멀벡터로 매핑하는 함수

$$ \nu : M \to S^{2} \text{ with } \nu(p) \text{ normal to } M \text{ at } p $$

가 모든 점에서 연속이면, $M$을 가향곡면orientable surface이라한다.

설명

$\nu$를 가우스 맵이라 한다.

예시

구 $S^{2}$

$\nu(p)$를 $p$에서의 외향법선벡터outward normal vector라고 하면, $\nu(p) = p$이므로 연속이다. 따라서 구 $S^{2}$는 가향곡면이다.

토러스 $T^{2}$

가향곡면이다.

뫼비우스 띠

뫼비우스 띠는 가향곡면이 아니다.

정리

$\mathbb{R}^{3}$의 모든 컴팩트 곡면은 가향곡면이다.


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p180 ↩︎

댓글