순서 기저와 좌표 벡터 📂선형대수

순서 기저와 좌표 벡터

Ordered Basis and Coordinate Vector

정의1

$V$를 유한차원 벡터공간이라고 하자. $V$의 기저에 특정한 순서가 부여되면, 이를 순서 기저ordered basis라고 한다.

$\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$를 $V$의 순서기저라고 하자. 그러면 기저표현의 유일성에 의해, $\mathbf{v} \in V$에 대해서 다음이 성립하는 스칼라 $a_{i}$들이 유일하게 존재한다.

$$ \mathbf{v} = a_{1}\mathbf{v}_{1} + \dots a_{n}\mathbf{v}_{n} $$

$a_{1},\dots,a_{n}$을 기저 $\beta$에 대한 $\mathbf{v}$의 좌표coordinate of $\mathbf{x}$ relative of $\beta$라 한다. $i$번째 좌표를 $i$번째 성분으로 갖는 행렬을 기저 $\beta$에 대한 $\mathbf{v}$의 좌표벡터coordinate vector $\mathbf{x}$ of relative of $\beta$ 혹은 좌표행렬이라 하고 $[\mathbf{v}]_{\beta}$와 같이 표기한다.

$$ [\mathbf{v}]_{\beta} = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix} $$

설명

기저는 집합으로 정의되는데, 집합을 표현함에 있어서 원소가 나열된 순서는 무관하다. 즉 $\alpha = \left\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3} \right\} = \left\{ \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}, \mathbf{e}_{1} \right\} = \beta$이다. 따라서 '좌표'라는 개념을 추상화하기 위해서는 기저의 원소들에 순서를 부여해줄 필요가 있다. 이제 $\alpha, \beta$를 순서 기저라고 하면,

$$ \alpha = \left\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3} \right\} \ne \left\{ \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}, \mathbf{e}_{1} \right\} = \beta $$

  • $[\mathbf{v}_{i}]_{\beta} = \mathbf{e}_{i}$가 성립한다. $\mathbf{e}_{i}$는 표준기저이다.

  • 함수 $T : \mathbf{v} \mapsto [\mathbf{v}]_{\beta}$는 $V$에서 $\mathbb{R}^{n}$으로의 선형변환이 된다.

  • 벡터공간 $\mathbb{R}^{n}$에 대해서, $\left\{ \mathbf{e}_{1}, \dots, \mathbf{e}_{n} \right\}$을 $\mathbb{R}^{n}$의 표준 순서 기저standard ordered basis라고 한다.


  1. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p79-80 ↩︎

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