해석학의 세 가지 공리: 2 순서 공리

해석학의 세 가지 공리: 2 순서 공리

Order axioms

공리1

실수 $ a,b,c \in \mathbb{R}$ 에 대해, 다음의 성질들이 성립한다고 받아들이자.

삼분성: 주어진 $a,b$ 에 대해서, $a<b$ 혹은 $a>b$ 혹은 $a=b$ 이어야한다

추이성: $a<b$ 이고 $b<c$이면 $a<c$

가산성: $a<b$ 이고 $c\in \mathbb{R}$ 이면 $a+ c< b + c$

승산성: $a<b$ 이고 $c>0$ 이면 $ac< bc$, 혹은 $c<0$ 이면 $ac> bc$

설명

단어들은 상당히 옛날것이지만 너무 당연한 사실들이라 이해하는데는 문제가 없을 것이다. 체 공리가 수와 연산에 대해 다룬다면, 순서 공리는 수들의 대소관계에 대해 다루고 있다.

어떻게보면 우리는 체 공리보다 순서 공리를 더욱 잘 알고 있을지도 모른다. 해석학에선 두번째 공리지만, 초등학교때 먼저 부등식(순서 공리)을 배우고 중학교때 무리수(체 공리)를 배우기 때문이다.

체 공리만으로는 할 수 있는게 별로 없지만 순서 공리가 추가되면 할 수 있는게 조금 생긴다. 예를 들어 아래와 같은 정리를 증명할 수 있다.

정리

$0$ 이 아닌 실수의 거듭제곱은 항상 양수다.


도대체 왜 이런 걸 굳이 증명해야하는지 이해가 안 갈 수 있다. 하지만 역사적으로 생각해보면 학자들이 굳이 공리라는 걸 먼저 만들어내서 밑바닥부터 증명하며 올라간 게 아니라 모든 걸 증명하려 해봤지만 증명할 수 없었던 걸 모아 놓고 공리라고 부르고 있는 것이다.

즉 굳이 저걸 증명하기 위해 공리를 만들어 낸 것이 아니라 저걸 증명하려고 보니 공리가 필요했던 것이다. 한편, 모든 것을 정확하게 증명하고 엄밀하게 검증하는 것은 수학자의 입장에선 당연한 일이다. 그러니 너무 억울하게 생각하지 말고 차근차근 바닥을 다진다고 생각하며 즐겁게 공부해보려고 노력하자.

증명

삼분성에 의해 $a \ne 0$ 이라면 $a>0$ 이거나 $a<0$ 두가지 경우밖에 없다.

  • Case 1.

    $a>0$양변에 $a$를 곱하면 승산성에 의해

    $$ a^2>a \cdot 0 $$

  • Case 2.

    $a<0$양변에 $a$를 곱하면 승산성에 의해

    $$ a^2>a \cdot 0 $$

체 공리에서 임의의 실수와 $0$ 을 곱하면 $0$ 이므로 어떤 경우든

$$ a^2 > a \cdot 0=0 $$


  1. William R. Wade, An Introduction to Analysis (4th Edition, 2010), p6-7 ↩︎

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