자율 시스템의 오빗 📂동역학

자율 시스템의 오빗

Orbit of autonomous System

정의

공간 $X$ 와 함수 $f : X \to X$ 에 대해 다음과 같은 벡터 필드미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$ x' = f(x) $$ 위와 같은 자율 시스템플로우를 $x(t,t_{0},x_{0})$ 와 같이 나타낸다고 하자.

  1. 그러면 $x_{0} \in X$ 를 지나는 오빗Orbit$O(x_{0})$ 을 다음과 같이 나타낸다.

1 $$ O(x_{0}) := \left\{ x \in X : x = x(t, t_{0} , x_{0}) \right\} $$ 2. 오빗이 모든 $t \in \mathbb{R}$ 에 대해 다음을 만족시키는 $T > 0$ 이 존재하면 $T$-피리어딕하다고 하고, 그 오빗을 피리어딕 오빗Periodic Orbit이라 한다. 2 $$ x(t,t_0) = x(t + T,t_0) $$

물론 모든 시점 $T \in I$ 에 대해서 $O\left( x (T , t_{0} , x_{0}) \right) = O (x_{0})$ 이다.

예시

예로써 다음과 같은 간단한 자율 시스템을 생각해보자: $$ x' = -y \\ y ' = x $$ 이 미분 방정식의 솔루션은 시간 $t$ 에 대해 $$ (x,y) = \left( \cos t , \sin t \right) $$ 와 같이 나타낼 수 있으므로, 초기값이 $p_{0} = (1,0)$ 이라고 하면 그 플로우는 반지름 $1$ 인 단위원 위를 도는 형태가 될 것이다. 따라서 $p_{0}$ 을 지나는 오빗은 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ O(p_{0}) := \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2} + y^{2} = 1 \right\} $$ 이 오빗은 특히 주기성을 가지고 플로우가 같은 점을 지나므로 $2 \pi$-피리어딕 하기도 하다.


  1. Wiggins. (2003). Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos Second Edition(2nd Edition): p3. ↩︎

  2. Wiggins. (2003). Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos Second Edition(2nd Edition): p71. ↩︎

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