최적값: 최대값과 최소값

최적값: 최대값과 최소값

쉬운 정의

최대값Maximum최소값Minimum을 통틀어 최적값Optimum이라 한다.


설명

수학자들의 관점에서 큰 걸 찾느냐 작은 걸 찾느냐는 건 사실 큰 의미가 없다. 특히 최적화 문제에서는 알고리즘 전반을 설명할 때 최대화를 하든 최소화를 하든 구분하지 않고 그냥 최적화한다고 말한다.

Maximum의 복수형은 Maxima, Minimum의 복수형은 Minima, Optimum의 복수형은 Optima다. 최적값이 여러개 있는 게 말이 안 되니 이런 표현들이 쓰였을 땐 맥락 상 최적값Value이 아니라 최적점Point이라고 보아야한다.

최적값은 극값과 대비되는 표현으로써, 최적화 문제의 맥락에서는 이 포스트에서의 최적값이 전역Global 최적값, 극값이 국소Local 최적값으로 볼릴 수도 있다. 보통 이런 맥락에서 전역이라는 말은 큰 의미가 없다.

맥락 상 값과 집합 자체가 중요하지 않을 땐 집합, 원소, 함수 표현이 제멋대로인 경우가 많으니 정신 잘 차려야한다.

이 포스트의 의의는 사실 어릴적부터 친숙하게 써온 최대값과 최소값을 모호하지 않은 함수의 형태로 정의하는 것에 있다. 위의 간단한 정의에 직관적으로 동의할 수 있다면 다음의 어려운 정의도 함께 보자.

어려운 정의

집합의 최적값

전순서집합 $\left( Y, \le \right)$ 가 주어져 있다고 하자.

$\max, \min : 2^{Y} \to Y$ 는 $Y$ 의 각 부분집합 $A \in 2^{Y}$ 에 대해 $B$ 의 가장 작은 원소나 가장 큰 원소인 $y_{\ast} \in B$ 로 대응시키는 함수다. $$ \max : B \mapsto y_{\ast} \ge b \qquad , \forall b \in B \\ \min : B \mapsto y_{\ast} \le b \qquad , \forall b \in B $$

함수의 최적값

집합 $X$ 이 정의역이고 $Y$ 가 공역인 함수들의 집합 $Y^{X}$ 이 주어져 있다고 하자.

$A \subset X$ 에 대해 $\max_{A}, \min_{A} : Y^{X} \to Y$ 는 함수 $f : X \to Y$, 즉 $f \in Y^{X}$ 에 대해 다음과 같이 정의된다. $$ \max_{A} f = \max f(A) \\ \min_{A} f = \min f(A) $$


예시

집합 $[0,1)$ 에 대해 최대값은 존재하지 않으며, 최소값은 $\min [0, 1) = 0$ 이다.

이차함수 $f(x) := 2x^{2} + 1$ 의 최소값은 $\min_{\mathbb{R}} f = f(1) = 1$ 이다. 별도로 $A = [2,3] \subset \mathbb{R}$ 안에서 최대값을 생각하면 $\max_{a \in A} f(a) = f(2) = 9$ 다.

위 예시들에서도 표기가 엉망인데, 설명한 것과 같이 보통은 대강 넘어가도 상관 없다.

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