양자역학의 여러 연산자의 행렬표현

양자역학의 여러 연산자의 행렬표현

operator matrices in quantum physics


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선형대수학을 배운 사람은 알겠지만 행렬도 벡터의 한 종류이다. 심지어 모든 벡터는 행렬로 표현할 수가 있다. 파동함수(고유함수)에 작용하는 연산자들 역시 행렬로 표현이 가능하다. (선형대수의 설명을 덧붙이자면 선형 연산자이기 때문에 행렬 변환이고 따라서 행렬로 표현이 가능하다) 따라서 양자역학의 이론은 모두 행렬로 표현이 가능하다. 잘 알려진 사실이지만 이러한 이유로 하이젠베르크가 처음 양자역학의 이론을 만들었을 때 그 이름을 행렬역학이라 붙였다. 잘 생각해보면 디랙 노테이션$\mathrm{Dirac\ notation}$도 그 정의의 바탕이 행렬이다. 브라벡터는 행벡터로, 켓벡터는 열벡터로 정의한다.아래에는 주요 연산자들의 행렬 표현이다. 구체적으로 구하는 방법은 각 링크를 참고하자.$1.$ 조화 진동자$H=\hbar w \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0& \cdots \\ 0 & \frac{3}{2} & 0 & 0 &0 & \cdots \\ 0 & 0 & \frac{5}{2} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \frac{7}{2} & 0 & \cdots \\ 0 & 0& 0& 0 & \frac{9}{2} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix} $$ a_+=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0& \cdots \\ \sqrt{1} & 0 & 0 & 0 &0 & \cdots \\ 0 & \sqrt{2} &0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{3} &0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0& 0& \sqrt{4} &0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix}$ $a_-=\begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & 0& \cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 &0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{4} & \cdots \\ 0 & 0& 0& 0& 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix} $$ 2.$ 각운동량의 연산자($l=1$일 때)$L_{z}=\hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$ L_{x}=\dfrac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$ L_{y}=\dfrac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} $$ L_+=\hbar \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ L_-=\hbar \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{2} &0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} &0 \end{pmatrix}$

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