양자역학에서 연산자란

양자역학에서 연산자란

빌드업

1.jpg 수학에서 함수function라고 하는 것은 어떤 집합 $X$의 각 원소에 어떤 집합 $Y$의 원소를 오직 하나씩만 대응시키는 관계를 말하며, function의 앞글자를 따와서 흔히 $f$라고 표기한다. $X$라는 집합의 $x$라는 원소가 $Y$라는 집합의 $y$라는 원소와 대응시키는 함수를 $f$라고 한다면, 우리는 다음과 같이 표기한다.

$$ y = f(x) $$

만약 그 관계가 $x$에 대해서 구체적으로 주어져있다면, 다음의 예시들과 같이 표현하게 된다.

$$ y = 3x^{3} -2 x^{2} + x + 1 \quad \text{and} \quad y = e^{3x} \quad \text{and} \quad y = 5 \cos x $$

물리학과에서 공부를 하고 있는 대학생이라면, 함수라는 것을 위와 같이 어떤 수 $x$와 어떤 수 $y$의 관계라고 생각하고 있을 거다. 하지만 위의 정의를 보면 알 수 있듯이 함수가 반드시 숫자와 숫자를 이어줘야할 필요는 없다. 그러니까 집합 $X$와 $Y$가 숫자들로 이루어진 집합이 아니어도 상관없다는 말이다. 가령 어떤 함수와 숫자를 이어주는 함수를 생각할 수 있으며 이는 고전역학에서 해밀턴의 원리를 배울 때 작용action이라는 개념으로 만날 수 있다.

범함수의 정의

어떤 함수함수를 대입해서 그에 따라 어떤 숫자가 나올 때 그 함수범함수functional라고 한다. 예를 들어 아래와 같이 정의된 함수 $F$는 범함수이다.

$$ {\color{blue}F\big( {\color{orange}f(x)} \big)} := {\color{red} \int_{1}^{2} f(x) dx} $$

즉 함수 $F$는 어떤 함수를 $1$부터 $2$까지 정적분한 값을 함숫값으로 가진다. 실제로 계산을 해보면

$$ {\color{blue}F( {\color{orange} e^{x} })} = \int_{1}^2 e^x dx = {\color{red}e^2-e},\quad {\color{blue}F({\color{orange}x^2})}=\int_{1}^2 x^{2} dx = {\color{red}\frac{7}{3} } $$

그러면 이제 집합 $X$와 $Y$를 함수들의 집합이라고 해보자. 그러면 $X$를 $Y$에 대응시키는 함수를 생각할 수 있다. 이러한 함수의 구체적인 예시로 미분을 생각할 수 있다. $f$라는 함수를 미분이라고 해보자. 그러면 $f$는 이차다항식 $x^{2} + 3x + 1$를 일차다항식 $2x + 3$에 대응시키는 함수가 된다.

$$ f\left( x^{2} + 3x + 1 \right) = 2x + 3 $$

이번엔 $g$라는 함수를 부정적분이라고 해보자. 그러면 $g$는 $\cos x$를 $\sin x$로 대응시키는 함수가 된다.(적분상수는 생략하자)

$$ g(\cos x) = \sin x $$

이때 함수를 함수에 대응시키는 함수라는 말에는 ‘함수’라는 말이 너무 많이 등장하니 헷갈리기 쉽다. 따라서 양자역학에서는 이러한 함수를 다음과 같은 특별한 이름으로 부른다.

정의

양자역학에서 함수를 함수에 대응시키는 함수를 특별히 연산자operator라고 한다.

설명

operator는 수학의 함수해석학이라는 분야에서 등장하며, 이쪽에서는 작용소라는 이름으로 변역된다. 위 정의가 operator의 엄밀한 정의는 아니지만, 전공 수학을 공부하지 않은 물리학과 학생들에게는 이 정도만 해도 충분하다.

델 연산자를 연산자라고 부르는 이유도 위의 정의와 관련되어있다. 예를 들어 그래디언트 $\nabla$는 스칼라 함수 $f$를 벡터 함수 $\left( \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}, \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)$로 대응시키는 연산자이다. 생새우초밥집에서 델 연산자를 벡터라고 생각하지 말라고 계속해서 얘기하는 이유가 이것이다.

양자역학에서 다루는 연산자로는 운동량 연산자 $p_{\text{op}}$, 에너지 연산자 해밀토니안 $H$ 등이 있다.

예시

양자역학에서 파동함수란, 시간과 위치에 따라 어떤 입자의 운동 상태를 설명하는 함수이다. 어떤 입자의 파동함수가 $\psi = \psi(x,t) = A e ^{i(kx+\omega t) }$라고 해보자. 운동량 연산자는 운동량 $p$와의 혼동을 피하기 위해 $p_{\text{op}}$와 같이 표기한다. 이 연산자는 파동함수 $\psi$가 주어졌을 때 파동함수와 이 입자의 운동량 $p$를 곱한 함수를 대응시키는 연산자이다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

$$ p_{\text{op}} (\psi) = p_{\text{op}} \psi = p \psi $$

이때 위와 같이 괄호는 생략해서 적는게 일반적이다. 이는 연산자 $p_{\text{op}}$에 파동함수 $\psi$를 대입하는 것을 두 행렬의 곱과 같이 취급할 수 있기 때문이다. 위 식을 행렬의 곱으로 본다면 위 식은 고유값 방정식이 되고, 파동함수 $\psi$와 운동량 $p$는 운동량 연산자 $p_{\text{op}}$의 고유함수고유값이 된다. 운동량 연산자는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

$$ p_{\text{op}}=\displaystyle \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} $$

위 연산자에 파동함수 $\psi$를 대입하면 운동량 $p=\hbar k$를 얻음을 다음과 같이 확인할 수 있다.

$$ p_{\text{op}}(\psi) = p_{\text{op}}\psi = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x} \left( \psi \right) = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial \psi}{\partial x} = (ik)\frac{\hbar}{i}\psi = p \psi $$

댓글