임의의 두 연산자가 교환 관계일 조건

임의의 두 연산자가 교환 관계일 조건


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임의의 서로 다른 두 연산자의 공통의 고유함수가 존재하면 두 연산자는 교환 가능하다.즉, $\begin{cases} A\psi=a\psi \\ B\psi=b\psi \end{cases}$ 이면 $[A,B]=0$이 때 고유함수는 규격화된 고유함수이다.

증명

$\begin{align*} AB\psi=Ab\psi=bA\psi=ba\psi =&\ ab\psi \\ =&\ aB\psi \\ =&\ Ba\psi \\ =&\ BA\psi \end{align*} $$ \implies AB\psi-BA\psi=(AB-BA)\psi=0$ 이므로 $[A,B]=0$

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