열린 함수와 닫힌 함수

열린 함수와 닫힌 함수

Open Function and closed Function

정의

위상공간 $X,Y$ 에 대해 $f : X \to Y$ 라고 하자.

  1. 모든 열린 집합 $O \subset X$ 에 대해, $f (O)$ 가 $Y$ 에서 열린 집합이면 $f$ 를 열린 함수라 한다.
  2. 모든 닫힌 집합 $C \subset X$ 에 대해, $f (C)$ 가 $Y$ 에서 닫힌 집합이면 $f$ 를 닫힌 함수라 한다.

정리

특히 연속함수는 아래의 성질을 가진다.

  • [1]: 연속함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 가 전단사면 열린 함수면서 닫힌 함수다.

위의 성질은 아래 정리의 아주 특수한 케이스를 간략하게 요약한 것이다.

$f : X \to Y$ 가 전단사라고 하면 다음 명제들은 서로 동치다.

  • (1): $f^{-1} : Y \to X$ 가 연속함수다.
  • (2): $f : X \to Y$ 는 열린 함수다.
  • (3): $f : X \to Y$ 는 닫힌 함수다.

설명

주의해야할 것은 집합에서의 정의와 마찬가지로 열림과 닫힘이 서로 배타적이지 않다는 것이다.

동치조건 (1)에서 $f^{-1}$ 가 연속함수라는 것은 위상동형에 대한 논의에서 편리하게 쓰일 수 있음을 암시한다.

열림, 닫힘의 개념 자체는 연속과 딱히 상관 없음을 보여주는 예시로써 바닥함수 $\lfloor \cdot \rfloor : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 은 연속함수가 아니지만 닫힌 함수다:

  • $\lfloor \cdot \rfloor$ 가 연속함수가 아님은 자명하다.
  • 임의의 폐구간 $[a,b]$ 에 대해 $\lfloor [a,b] \rfloor \subset \mathbb{Z}$ 이므로, $\lfloor \cdot \rfloor$ 는 닫힌 함수다.

증명

[1]

임의의 개구간 $(a,b)$ 에 대해서 $f(a,b) = (c ,d)$ 이므로 $f$ 는 열린 함수다.

임의의 폐구간 $[a,b]$ 에 대해서 $f[a,b] = [c,d]$ 이므로 $f$ 는 닫힌 함수다.

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