피타고리스 수 중 하나는 반드시 3의 배수여야한다

피타고리스 수 중 하나는 반드시 3의 배수여야한다

정의 1

자연수 $a,b,c$ 가 $a^2 + b^2 = c^2$ 를 만족할 때, $a$ 혹은 $b$ 는 $3$ 의 배수다.

설명

피타고라스 수하나는 반드시 짝수일 뿐만이 아니라 적어도 하나는 $3$ 의 배수라는 이야기를 할 수 있다.

증명

어떤 자연수 $n$ 에 대해 자연수를 $3$ 으로 나눈 나머지 $1, 2, 0$ 에 따라 세가지로 나눠 생각해보자.


Case 1. 나머지가 $1$ 인 경우 $$ \begin{align*} (3n+1)^2 &= 9 n^2 + 6n + 1 \\ =& 3( 3 n^2 + 2n) + 1 \end{align*} $$ 이므로 제곱수의 나머지가 $1$ 이다.


Case 2. 나머지가 $2$ 인 경우 $$ \begin{align*} (3n+2)^2 =& 9 n^2 + 12n + 4 \\ =& 3 ( 3 n^2 + 4n + 1 ) + 1 \end{align*} $$ 이므로 역시 제곱수의 나머지가 $1$ 이다.


Case 3. 나머지가 $0$ 인 경우

$3$ 의 배수는 제곱했을 때도 여전히 $3$ 으로 나누어 떨어진다.


즉, 모든 제곱수 $n^2$ 은 $3$ 으로 나누었을 때 나머지가 $1$ 이거나 $0$ 이다.

만약에 $a$ 와 $b$ 모두 $3$ 의 배수가 아니라고 가정하면, $a^2$ 와 $b^2$ 모두 나머지가 $1$ 이다. 따라서 $c^2 = a^2 + b^2$ 를 $3$ 으로 나눈 나머지는 $2$ 가 된다. 하지만 앞서 모든 제곱수는 $3$ 으로 나누었을 때 나머지가 $2$ 일 수 없음을 보였으므로, 이는 모순이다. 고로 $a$ 혹은 $b$ 가 $3$ 의 배수가 되어야한다.


  1. Silverman. (2012). A Friendly Introduction to Number Theory (4th Edition): p18. ↩︎

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