피타고리스 수 중 하나는 반드시 짝수여야한다

피타고리스 수 중 하나는 반드시 짝수여야한다

정리 1

자연수 $a,b,c$ 가 $a^2 + b^2 = c^2$ 를 만족할 때, $a$ 혹은 $b$ 는 짝수다.

설명

흥미롭게도 피타고라스 수 중 하나는 반드시 짝수여야한다.

증명

짝수의 제곱은 짝수고 홀수의 제곱은 홀수이므로, $c^2$ 이 홀수면 $a^2$ 이 짝수거나 $b^2$ 여야만 한다. $c^2$ 이 짝수라고 가정하면 $a^2$ 과 $b^2$ 이 모두 홀수거나 짝수인데, 모두 홀수인 경우만 살펴보면 충분하다.

어떤 자연수 $x,y,z \in \mathbb{N}$ 에 대해 $a,b,c$ 를 다음과 같이 정의하자. $$ a := 2x +1 \\ b : = 2y + 1 \\ c = 2z $$ 이를 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 에 대입하면 $$ (2x+1)^2 + (2y+1)^2 = (2z)^2 $$ 제곱을 전개하면 $$ 4x^2 + 4x +1 + 4y^2 + 4y +1 = 4z^2 $$ 양변을 $2$ 로 나누면 $$ 2 \left( x^2 + x + y^2 + y \right) +1 = 2z^2 $$ 여기서 좌변은 홀수인데 우변은 짝수이므로 모순이고, 따라서 $a$ 혹은 $b$ 가 짝수여야만한다.


  1. Silverman. (2012). A Friendly Introduction to Number Theory (4th Edition): p15. ↩︎

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