미분기하에서 널 호모토픽

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Null-Homotopic in Differential Geometry

정의

닫힌 곡선 $\gamma$가 리전 $R$을 바운드한다고 하자. $\sigma$를 $R$ 위에 놓인 주기가 $L$인 닫힌 곡선이라고하자. $\sigma(0) = x_{0}$

$\sigma$를 $R$에서 null homotopic이라고 한다. $\forall s \in [0,1] \exsits$ closed curve $\sigma_{s}$ s.t.

  • $\sigma_{s}(0) = x_{0}$
  • $\sigma_{0}(t) = \sigma(t)$
  • $\sigma_{s}(t) \in R \quad \forall s\in [0,1], t\in(0, L)$
  • 함수 $\Gamma : [0,1] \times [0, L] \to M$ $\Gamma(s,t) = \sigma_{s}(t)$가 연속이다.

정리

$\gamma$가 리전 $R$을 바운드한다고하자. 그리고 null homotopic이라고하자. 그러면 $\delga_{\mathbf{V}}\algha$는 $\mathbf{V}$의 선택에 의존하지 않는다.

증명

$\mathbf{W}$를 $\mathbf{V}$와 다른 벡터 필드라고 하자. 그러면

$$ \alpha (t) = \angle\left( \mathbf{Z}(t), \mathbf{V}(t) \right) = \angle\left( \mathbf{Z}(t), \mathbf{W}(t) \right) + \angle\left( \mathbf{W}(t), \mathbf{V}(t) \right) + 2n\pi = \beta + \theta + 2n\pi $$

$$ \dfrac{d \alpha}{d t}(t) = \dfrac{d \beta}{d t} + \dfrac{d \theta}{d t} $$

Claim $\int_{0}^{L} \dfrac{d \theta}{d t}dt = \delta \theta = 0$

since $\mathbf{V}(0) = \mathbf{V}(L)$, $\mathbf{W}(0) = \mathbf{W}(L)$

$\gamma$ is null homotopic $\implies$ familiy of closed curves $\gamma_{s}$ s.t. $\sigma_{0}=\gamma$. $\sigma_{s}(0) = \gamma(0) = \sigma_{1}(t)$

$\implies \delta \theta_{s} = \int_{0}^{L} \dfrac{d \theta_{s}}{d t}dt$ $s$에 대해서 연속이다.

$\implies$ is constant

$\implies \delta \theta_{1} = 0 = \delta \theta_{s}$

$\implies \delta \theta = \delta \theta_{0} \implies \delta_{\mathbf{V}}\alpha = \delta_{\mathbf{W}}\alpha$

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