유계 선형작용소의 제곱의 놈

유계 선형작용소의 제곱의 놈

Norm of Square of Bounded Linear Operator

정리

유계 선형 작용소 $T, T^2 \in B(X,X)$ 에 대해 $T(Tx) = T^{2} x$이면

$$ \left\| T^{2} \right\| = \left\| T \right\|^{2} $$

설명

단순하게 보이지만 자그마치 3개의 성질이 합쳐진 컴비네이션이다. 자연수에 대해 일반화하면 $\left\| T^{m} \right\| = \left\| T \right\|^{m}$으로, 거듭제곱을 자유자재로 넣고 뺄 수 있음을 보장하기 때문에 아주 유용하다.

증명

전략: 양쪽 방향으로 똑같이 성립하는 부등식을 세워서 등식임을 보인다.


$T \in B(X,X)$ 이므로 선형작용소 $T$ 는 유계

$$ \| T x \| \le \| T \| \| x \| $$

$T( Tx)$ 에 대해

$$ \begin{equation} \| T ( Tx) \| \le \| T \| \| Tx \| \le \| T \| \| T \| \| x \| = \| T \|^2 \| x \| \end{equation} $$

$T^2 x$ 에 대해

$$ \begin{equation} \| T^2 x \| \le \| T^2 \| \| x \| \end{equation} $$

가정에서 $T(Tx) = T^{2} x$ 이므로

$$ \| T ( Tx) \| = \| T^2 x \| $$

$(1)$ 에서 $(2)$ 식을 변끼리 빼면

$$ 0 \le \| T \|^2 \| x \| - \| T^2 \| \| x \| = (\| T \|^2 - \| T^2 \| ) \| x \| $$

즉 $\| T^2 \| \le \| T \|^2$ 이고, 마찬가지로 $\| T \|^2 \le \| T^2 \|$ 이므로

$$ \| T^{2} \| = \| T \|^{2} $$

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