선형대수학에서 노름 혹은 놈이란

선형대수학에서 노름 혹은 놈이란

Norm in linear Algebra

정의

$V$를 $\mathbb{F}$ 상에서의 벡터공간이라고 하자.

$\left\| \cdot \right\| : V \to \mathbb{F}$ 가 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$와 $k \in \mathbb{F}$ 에 대해서 다음 세 조건을 만족시키면 $\left\| \cdot \right\|$ 을 $V$ 상에서의 놈이라고 정의한다.

  • (i) 정부호: $\left\| \mathbf{u} \right\| \ge 0$ 이고 $\mathbf{u} = \mathbb{0} \iff \left\| \mathbf{u} \right\| = 0$
  • (ii) 동질성: $\left\|k \mathbf{u} \right\| = | k | \left\| \mathbf{u} \right\| $
  • (iii) 삼각부등식: $\left\| \mathbf{u} + \mathbf{v}\right\| \le \left\|\mathbf{v} \right\| + \left\| \mathbf{u} \right\|$

설명

Norm은 절댓값에서 출발해 추상화된 개념으로, 한국어엔 딱히 통하는 말이 없어 그대로 읽는 식으로 순화된 단어다. 개인적으로 정말 어감 안 좋게 순화했다고 생각해서 입으로 소리내서 읽을때는 가능한 [nɔ:m]에 가깝게 읽는다.선형대수학에서 놈의 정의는 위와 같다. (그 말인즉슨, 다른 분야에서는 놈이 다른 방식으로 정의될 수 있다는 뜻이다.) 찬찬히 읽어보면 알겠지만 기본적으로 놈의 정의에 필요한 조건들은 ‘측정’ 혹은 ‘비교’를 가능하게 만들어주는 요소가 된다. 단순히 3차원 공간 $\mathbb{R}^3$ 을 생각하면 이런 개념은 직관적인 정의로 충분하지만, 당장 복소수만 생각해봐도 추상화가 필요해진다.세상에는 생각보다 많은 종류의 놈이 있고, 어떤 벡터공간에서의 놈 역시 유일하게 존재할 필요는 없다. 그 용도와는 상관없이 저런 정의만 만족시켜준다면 놈은 무궁무진하게 많이 생각해낼 수 있을 것이다.

20181031\_161310.png

벡터공간 $\mathbb{C}^n$ 와 그 벡터 $\mathbf{u} = ( u_1 , u_2 , \cdots , u_n ) \in \mathbb{C}^n$ 에 대해 다음의 놈들을 소개한다:

맨해튼 놈

$$ \left\| \mathbf{u} \right\|_1 = \sum_{k=1}^{n} |u_k| $$

맨해튼 놈은 $\mathcal{l}^1$ 놈으로도 불리는 놈으로써, 택시기하학에서의 거리를 정의할 때 쓰인다. 맨해튼이라는 이름 역시 실제로 도시 맨해튼에서 온 것으로 단순 직선거리가 아니라 실제 이동거리를 표현하기 위해 고안되었다. 정확하게 개념이 일치하는 것은 아니지만 이해를 돕기 위해 그림을 보면 왜 이런 놈에 맨해튼이라는 이름이 붙었는지 납득이 될 것이다. 위 그림에선 파란색 선에 해당하며 녹색 사각형의 한 변의 길이를 $1$로 잡으면 A와 B 사이의 거리는 $6+2 = 8$ 이 된다.

유클리드 놈

$$ \left\| \mathbf{u} \right\|_2 = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} |u_k|^2} $$

유클리드 놈은 우리가 잘 알고있는 거리, 크기의 개념으로써 차원과 상관 없이 절댓값 제곱의 합의 제곱근으로 구해진다. 위 그림에서는 빨간색 선에 해당하며 잘 알고 있듯 A와 B 사이의 거리는 $\sqrt{6^2 + 2^2} =6.32…$ 이 된다.

$\infty$-놈, 맥시멈 놈

$$ \left\| \mathbf{u} \right\|_\infty = \max_{1\le k \le n} |u_k| $$

슈프리멈 놈supremum norm으로도 불리는 놈으로써, 단순하게 최댓값만을 취하는 놈이다.

$p$-놈

$$ \left\| \mathbf{u} \right\|_p = \left( \sum_{k=1}^{n} |u_k|^p \right) ^ {{1} \over {p} } $$

$p$ 는 $1$보다 크거나 같고 딱히 자연수일 필요는 없다. 위에서 맨해튼 놈과 유클리드 놈은 $p$-놈의 특수한 예로써, 각자 $1$-놈, $2$-놈에 해당한다. 특히 $p = \infty$ 면 맥시멈 놈이 되어 위의 표기법을 모두 커버한다.

주목해볼만한 점인지는 모르겠으나 한가지 흥미로운 것은 $p$-놈의 모양이 통계학에서의 $p$-적률과 모양이 비슷하다는 것이다. 절댓값이 있거나 중앙값이 0으로 고정되거나 하는 차이점은 있지만, 그 모양만 보았을때 $1$-놈은 평균, $2$-놈은 분산을 연상시킨다.

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