2차원 자율 시스템에서 피리어딕 오빗의 부재성

2차원 자율 시스템에서 피리어딕 오빗의 부재성

피리어딕 오빗에 대한 고찰

보통 자율 시스템에서 피리어딕 오빗이 존재하는지에 대한 질문은 상당히 까다로운데, $1,2$차원 공간이라면 비교적 간단하게 그 부재성에 대해서 논할 수 있다. 공간 $X = \mathbb{R}$ 혹은 $X = \mathbb{R}^{2}$ 와 함수 $f : X \to X$ 에 대해 다음과 같은 벡터 필드미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$ x' = f(x) $$

1차원

$1$차원 자율 시스템에서는 피리어딕 오빗이 존재하지 않는다. 생각해보면 당연하고 간단하게 귀류법으로 증명할 수 있는데, 그 증명 이전에 $1$차원 벡터 필드라는 것을 기하적, 직관적으로 이해하는 것에 큰 의미가 있다.

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$1$차원이라도 벡터 필드는 벡터 필드고, 모든 $x \in \mathbb{R}$ 에 대해 $x' = f(x)$ 에 따른 방향과 크기가 정확히 하나씩 주어져야한다. 그러나 피리어딕 오빗이 존재한다면 그 사이에 있는 점들은 왼쪽으로도 가고, 오른쪽으로도 갈 수 있어야한다. 이러한 점들의 존재는 시스템이 벡터 필드에 의해 정의되는 것과 모순되며, 결국 어떠한 $1$차원 자율 시스템이라도 피리어딕 오빗을 가질 수 없다.

2차원

$2$차원 자율 시스템에서는 영역과 파라메터에 따라 피리어딕 오빗이 존재하지 않음을 보일 수 있다.

3차원

한편 이러한 논의들이 $2$차원까지만 있는 이유는 $3$차원이 되는 순간 하나의 플로우를 우회하는 방법이 무수히 많이 생겨나기 때문이다. 벡터 필드로 정의되는 동역학계에서, 2차원 공간은 하나의 커브에 의해 정확히 두덩어리로 나누어질 수 있다. 이는 그러한 커브와 만나지 않고 제멋대로 행동하는 특이한 플로우가 있을 수 없다는 말이 되고, 그러한 커브가 수축하거나 팽창한다면 그 커브가 만드는 내부와 외부처럼 분리된 두 진영의 플로우 역시 영향을 받는다는 의미가 된다.

$3$차원 공간을 양분할 수 있는 것은 곡면이며, 동역학의 관심을 여기까지로 끌고가기 위해서는 편미분방정식으로 시스템이 정의되어야할 것이다. 마찬가지로 더 높은 차원, 혹은 그와 호메오멀픽매니폴드를 생각하고 싶다면 그만큼 공간을 다루는 수준도 올라가야한다.

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