📂행렬대수

멱영 행렬

Nilpotent Matrix

정의¹

$n \times n$ 행렬 $A$에 대해서, $A^{k} = O$를 만족하는 양수 $k$가 존재하면, $A$를 멱영^nilpotent라고 한다. 이때 $O$는 $n \times n$ 영행렬이다.

설명

nil은 '영' 혹은 '없음'을 의미한다. potent의 의미는 '유력한'이며, potential의 어근이다. 따라서 nilpotent라는 말은 ‘$0$이 될 가능성/잠재력이 있는 것’으로 받아들이면 된다. ‘멱冪'은 수학에서 거듭제곱을 의미하고 '영零'은 숫자 $0$을 뜻한다. 따라서 멱영이라는 단어는 말 그대로 '거듭제곱해서 영이되는'이라는 의미이다.

성질

$A$를 멱영이라고 하자.

• $\det(A) = 0$이고 $\tr{A}=0$이다.
  • 따라서 멱영행렬은 역행렬이 존재하지 않는다.
• 정사각 순삼각행렬은 멱영이다.(역은 성립하지 않는다)

증명

$A$를 멱영 행렬이라고 하자.

$$ A^{k} = O $$

곱의 행렬식은 행렬식의 곱과 같으므로,

$$ (\det(A))^{k} = \det(A^{k}) = \det(O) = 0 \implies \det(A) = 0 $$

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같이보기

• 멱영 선형변환